高次元区間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/02 06:46 UTC 版)
多くの文脈において、n-次元区間は、各座標軸上に各々ひとつ取った n 個の区間の直積集合 I = I1 × I2 × ⋯ × In として書ける Rn の部分集合として定義される。 n = 2 のとき、これは各辺が座標軸に平行な矩形領域（各区間の長さが等しければ正方形領域）として見ることができ、同様に n = 3 のとき、軸に平行な直方体領域（同様に立方体領域）となる。高次元の場合にも、n 個の区間の直積は有界な n-次元超立方体または超矩形（英語版）である。 いま定義した意味の区間 I のファセット (facet) は、I を定義する直積因子のうち任意の非退化区間 Ik を Ik の有限端点のみからなる退化区間に取り換えて得られる区間を言う。I の面集合とは、I 自身および I の任意のファセットの面となるもの全てからなる集合である。I の頂点集合とは、Rn の一点のみからなる面全体の成す集合を言う。 いくつかの場合には、一次元の場合の記法を流用した記法も用いられる。a, b ∈ Rn を成分表示したものが a = (a1, …, an) および b = (b1, …, bn) であるとき、 閉区間 [ a , b ] := { ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ∣ a 1 ≤ x 1 ≤ b 1 , … , a n ≤ x n ≤ b n } . {\displaystyle [a,b]:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1},\dots ,a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\}.} 開区間 ( a , b ) = ] a , b [ := { ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ∣ a 1 < x 1 < b 1 , … , a n < x n < b n } . {\displaystyle (a,b)={]{a,b}[}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}<x_{1}<b_{1},\dots ,a_{n}<x_{n}<b_{n}\}.} 半開区間（左閉右開） [ a , b ) = [ a , b [ := { ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ∣ a 1 ≤ x 1 < b 1 , … , a n ≤ x n < b n } . {\displaystyle [a,b)={[{a,b}[}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}\leq x_{1}<b_{1},\dots ,a_{n}\leq x_{n}<b_{n}\}.} 半開区間（左開右閉） ( a , b ] = ] a , b ] := { ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ∣ a 1 < x 1 ≤ b 1 , … , a n < x n ≤ b n } . {\displaystyle (a,b]={]{a,b}]}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}<x_{1}\leq b_{1},\dots ,a_{n}<x_{n}\leq b_{n}\}.}
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