高次元幾何学トポロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:24 UTC 版)
「幾何学的トポロジー」の記事における「高次元幾何学トポロジー」の解説
高次元トポロジーでは、特性類が基本的な不変量であり、手術理論（英語: surgery theory）がキーとなる理論である。 特性類は、位相空間 X 上の各々の主バンドルと X のコホモロジー類を結びつける方法である。コホモロジー類は、バンドルがツイストしてバンドルへの拡張、特に、切断を持つかどうかを測る。言い換えると特性類は、大域的不変量(invariant)であり、大域的な積構造から局所的な積構造を導けるかどうかを測る。特性類は、代数トポロジーや微分幾何学や代数幾何学では統一された幾何学的概念のひとつとなっている。 手術理論（英語: Surgery theory）は、Milnor (1961)により導入された多様体から別の多様体を作り出す、「制御された」テクニックの集まりである。手術は多様体の一部を切り出し、他の多様体の一部を置き換え、切り出した境界部分に沿って貼り合わせることでなされる。この方法は密接にハンドル分解（英語版）(handle decomposition)と密接な関係を持ち(同一ではない）、次元が 3 以上の多様体の分類と研究で主要なツールである。 さらにテクニカルには、この考え方は、よく理解されている多様体 M から出発し、手術を実行することで、多様体 M が求められる性質を持つ多様体として作り変えることに使用される。この方法では、ホモロジーやホモトピー群や他の興味深い不変量が知られている。 Kervaire and Milnor (1963) によるエキゾチック球面（英語版）(exotic sphere)の分類は、高次元トポロジーの主要なツールとしての手術理論の出現を導いた。
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