電弱対称性の破れ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/10 04:58 UTC 版)
「ワインバーグ＝サラム理論」の記事における「電弱対称性の破れ」の解説
ヒッグス場は SU(2)L の下で Φ = ( Φ 1 Φ 2 ) {\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}\Phi _{1}\\\Phi _{2}\\\end{pmatrix}}} の表現（2表現）をもち、U(1)Y の電荷 Y=1/2 をもつ。2表現で変換する場に対する生成子は Ta=σa/2（a=1,2,3; σ はパウリ行列）であり、ヒッグス場に対する共変微分は D μ Φ = ( ∂ μ Φ 1 − i 2 ( g W μ 3 + g ′ B μ ) Φ 1 − i g 2 ( W μ 1 − i W μ 2 ) Φ 2 ∂ μ Φ 2 + i 2 ( g W μ 3 − g ′ B μ ) Φ 2 − i g 2 ( W μ 1 + i W μ 2 ) Φ 1 ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\Phi ={\begin{pmatrix}\partial _{\mu }\Phi _{1}-{\frac {i}{2}}(gW_{\mu }^{3}+g'B_{\mu })\Phi _{1}-{\frac {ig}{2}}(W_{\mu }^{1}-iW_{\mu }^{2})\Phi _{2}\\\partial _{\mu }\Phi _{2}+{\frac {i}{2}}(gW_{\mu }^{3}-g'B_{\mu })\Phi _{2}-{\frac {ig}{2}}(W_{\mu }^{1}+iW_{\mu }^{2})\Phi _{1}\\\end{pmatrix}}} となる。ゲージ変換の自由度を用いて Φ 1 = 0 , Φ 2 † = Φ 2 {\displaystyle \Phi _{1}=0,\Phi _{2}^{\dagger }=\Phi _{2}} の形になるように選べば、ヒッグス場のポテンシャル項から ⟨ Φ ⟩ = v 2 ( 0 1 ) {\displaystyle \langle \Phi \rangle ={\frac {v}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}}} の真空期待値をもち、励起状態は Φ = v + h ( x ) 2 ( 0 1 ) {\displaystyle \Phi ={\frac {v+h(x)}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}}} となる。ヒッグスが真空期待値をもつとき、ゲージ対称性は第一成分の位相変換 Φ → ( e i θ 0 0 1 ) Φ {\displaystyle \Phi \to {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\Phi } の自由度を残して破れる。破れずに残るこの位相変換の生成子は Q = T 3 + Y {\displaystyle {\mathcal {Q}}=T^{3}+Y} であり、これが電磁相互作用のゲージ群 U(1)EM の生成子である電荷と同一視される。 対称性が破れた後のヒッグス場に対する共変微分は D μ Φ = v 2 ( − i g 2 W μ + i 2 g 2 + g ′ 2 Z μ ) + 1 2 ( − i g 2 W μ + h ∂ μ h + i 2 g 2 + g ′ 2 Z μ h ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\Phi ={\frac {v}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {ig}{\sqrt {2}}}W_{\mu }^{+}\\{\frac {i}{2}}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}Z_{\mu }\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {ig}{\sqrt {2}}}W_{\mu }^{+}h\\\partial _{\mu }h+{\frac {i}{2}}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}Z_{\mu }h\\\end{pmatrix}}} となる。ここで W μ + {\displaystyle W_{\mu }^{+}} は W μ 1 , W μ 2 {\displaystyle W_{\mu }^{1},W_{\mu }^{2}} の線型結合で W μ ± = 1 2 ( W μ 1 ∓ i W μ 2 ) {\displaystyle W_{\mu }^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(W_{\mu }^{1}\mp iW_{\mu }^{2})} によって定義され、Wボソンと呼ばれる。 Z μ {\displaystyle Z_{\mu }} は W μ 3 , B μ {\displaystyle W_{\mu }^{3},B_{\mu }} の線型結合で Z μ = W μ 3 cos θ W − B μ sin θ W {\displaystyle Z_{\mu }=W_{\mu }^{3}\cos \theta _{W}-B_{\mu }\sin \theta _{W}} によって定義され、Zボソンと呼ばれる。ここで θ W {\displaystyle \theta _{W}} は弱混合角と呼ばれ sin θ W = g ′ g 2 + g ′ 2 , cos θ W = g g 2 + g ′ 2 {\displaystyle \sin \theta _{W}={\frac {g'}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}},~\cos \theta _{W}={\frac {g}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}}} で定義される。 Z μ {\displaystyle Z_{\mu }} に直交するゲージ場 A μ = W μ 3 sin θ W + B μ cos θ W {\displaystyle A_{\mu }=W_{\mu }^{3}\sin \theta _{W}+B_{\mu }\cos \theta _{W}} は電磁場（光子）と同一視される。 これらのボソンで前述の共変微分を書き換えれば、 D μ = ∂ μ − i g sin θ W A μ Q − i g 2 ( W μ − T − + W μ + T + ) − i g cos θ W Z μ ( T 3 − Q sin 2 θ W ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }-ig\sin \theta _{W}A_{\mu }{\mathcal {Q}}-{\frac {ig}{\sqrt {2}}}(W_{\mu }^{-}T^{-}+W_{\mu }^{+}T^{+})-{\frac {ig}{\cos \theta _{W}}}Z_{\mu }(T^{3}-{\mathcal {Q}}\sin ^{2}\theta _{W})} となる。 A μ {\displaystyle A_{\mu }} を電磁場と同一視することから、結合定数は電磁相互作用の結合定数（即ち素電荷 e）と同一視される。 e = g sin θ W = g ′ cos θ W = g g ′ g 2 + g ′ 2 {\displaystyle e=g\sin \theta _{W}=g'\cos \theta _{W}={\frac {gg'}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}}}
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