電子気体の誘電関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 09:32 UTC 版)
金属を、原子核の格子と、その格子の内部に浸透した、電子気体（プラズマ）の集合体だと見なす。ここで言う電子気体は、原子核の格子の内部に均一に分布している自由電子の集合体である。振動する電場（電磁波）が金属に到来すると、電子気体は揺り動かされるが、原子核は電子と比較してはるかに重いため、その運動は無視できると考える。その結果、金属は全体として分極し、その表面に余分な電荷が生まれる。表面電荷密度は、 ρ s = − n e x {\displaystyle \rho _{s}=-nex} ここでnは電子の数密度である。これはサンプル中に復元電場を作る。 E = n e x ϵ 0 {\displaystyle E={\frac {nex}{\epsilon _{0}}}} サンプルのある周波数 ω {\displaystyle \omega } における誘電率は次のように表される。 ϵ = D ϵ 0 E = 1 + P ϵ 0 E {\displaystyle \epsilon ={\frac {D}{\epsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\epsilon _{0}E}}} ここで D {\displaystyle D} は電気変位、 P {\displaystyle P} は分極密度である。 電場と分極密度は、 E ( t ) = E 0 e − i ω t , P ( t ) = P 0 e − i ω t {\displaystyle E(t)=E_{0}e^{-i\omega t},\quad P(t)=P_{0}e^{-i\omega t}} またn電子密度の分極密度は、 P = − n e x {\displaystyle P=-nex} 振動電場の力Fは、電荷eと質量mをもつ電子を加速度aで加速される。 F = m a = m d 2 x d t 2 = − e E {\displaystyle F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-eE} ここでE、P、xを置き換えると調和振動子の式が得られる。 少し計算をすると、分極密度と電場の関係は次のように表される。 P = − n e 2 m ω 2 E {\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E} 固体の周波数依存誘電関数は、 ϵ ( ω ) = 1 − n e 2 ϵ 0 m ω 2 {\displaystyle \epsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\epsilon _{0}m\omega ^{2}}}} プラズマ周波数と呼ばれる共鳴周波数 ω p {\displaystyle \omega _{p}} で誘電関数の符号は負から正に代わり、誘電関数の実部は０になる。 ω p = n e 2 ϵ 0 m {\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\epsilon _{0}m}}}} プラズマ周波数は、プラズマ振動共鳴やプラズモンの理解において重要である。 プラズマ周波数の測定値は、多くの材料で理論値とよく一致している。 プラズマ周波数以下では誘電関数は負であり、到来した電磁波は試料の表面で全反射される。一方で、プラズマ周波数以上の電磁波はサンプルを貫くことができる。
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