正測度を持つ疎集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 10:09 UTC 版)
疎集合はあらゆる意味において無視可能（negligible）である必要はない。例えば、X を単位区間 [0,1] としたとき、それはルベーグ測度がゼロの稠密集合（有理数の集合など）を含むだけでなく、正測度を持つ疎集合をも含む。 （カントール集合の変形であるような）一例として、[0,1] からすべての二進分数（英語版）（既約分数として a/2n の形を持つような分数。ただし a と n は正の整数）とその周りの区間 (a/2n − 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1) を除いたような集合を考える。各 n に対し、多くとも合計 1/2n+1 の区間を除いているため、結局そのような区間を除かれた後に残った疎集合は少なくとも 1/2 の測度（実際は重なる部分の関係で 0.535... を少し超えた値）を持ち、そのため、ある意味で全体の空間 [0,1] の大部分を占めていることが分かる。この集合が疎であることは、それが閉であり空であるような内部を持つことから分かる。任意の区間 (a, b) はその集合には含まれない。なぜならば (a, b) に含まれる二進分数は取り除かれているからである。 この方法を一般化することで、 1 未満の任意の値に対して、その値と等しい測度を持つような単位区間内の疎集合を構成することができる。ただし、測度をちょうど 1 にすることはできない(できたとすると、その集合の閉包の補集合は測度 0 の開集合となるが、これは不可能である)。 他のより単純な例として、有限のルベーグ測度をもつ R {\displaystyle \mathbb {R} } の稠密開集合 U {\displaystyle U} が与えられたとき、 R ∖ U {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U} が必ず非有限ルベーグ測度をもつ R {\displaystyle \mathbb {R} } の閉部分集合となり、 R ∖ U {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U} はまた R {\displaystyle \mathbb {R} } で疎集合となることが挙げられる。（なぜならば、 R ∖ U {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U} の内部は空だから。）この有限測度を持つ稠密開集合 U {\displaystyle U} は、有理数全体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } がルベーグ測度０であることを証明するときによく構成される。 次のようにしても疎集合を得られる。全単射写像 f : N → Q {\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} } （実際は f {\displaystyle f} は全射写像で十分である。）を選び、適当な r > 0 {\displaystyle r>0} に対して U r := ⋃ n ∈ N ( f ( n ) − r / 2 n , f ( n ) + r / 2 n ) = ⋃ n ∈ N f ( n ) + ( − r / 2 n , r / 2 n ) {\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)} とする。(ここに、最後の式に用いられた記法はミンコフスキー和であり、記述を簡明にするためのものである。)開集合 U r {\displaystyle U_{r}} は、 R {\displaystyle \mathbb {R} } で稠密であり、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } を含み、そのルベーグ測度は ∑ n ∈ N 2 r / 2 n = 2 r {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r} を超えない。次の開集合ではなく、閉集合の和をとるとこれはFσ集合である。 S r := ⋃ n ∈ N f ( n ) + [ − r / 2 n , r / 2 n ] {\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]} さらに、包含関係 S r / 2 ⊆ U r ⊆ S r ⊆ U 2 r . {\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.} をみたす。 R ∖ U r {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r}} が疎集合であることから、 R ∖ S r {\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}} も疎集合である。また、 R {\displaystyle \mathbb {R} } がベール空間なことから、 D := ⋂ m = 1 ∞ U 1 / m = ⋂ m = 1 ∞ S 1 / m {\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}} は R {\displaystyle \mathbb {R} } で稠密である（これは D {\displaystyle D} が Q {\displaystyle \mathbb {Q} } に似て R {\displaystyle \mathbb {R} } で疎集合になれないかもしれないことを意味する。）。さらにルベーグ測度は0で、 R {\displaystyle \mathbb {R} } のnonmeagre subsetである（すなわち、 D {\displaystyle D} は R {\displaystyle \mathbb {R} } の第２類の集合。）。このことから、 R ∖ D {\displaystyle \mathbb {R} \setminus D} は R {\displaystyle \mathbb {R} } のcomeagre subsetでその内部はまた空であることが従う。故に R ∖ D {\displaystyle \mathbb {R} \setminus D} は疎集合であってその測度は無限大である。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は R {\displaystyle \mathbb {R} } の可算稠密部分集合で置き換えることができる。さらに、適当な n > 0 {\displaystyle n>0} に対して R {\displaystyle \mathbb {R} } を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に置き換えることができる。
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