正準実現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 07:28 UTC 版)
「状態空間 (制御理論)」の記事における「正準実現」の解説
厳密にプロパー（strictly proper）な伝達関数は、次のようにして容易に状態空間に変換可能である。 伝達関数を展開して分子と分母の全ての係数を明らかにする。これは、次のような形式になる。 G ( s ) = n 1 s 3 + n 2 s 2 + n 3 s + n 4 s 4 + d 1 s 3 + d 2 s 2 + d 3 s + d 4 {\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}} これらの係数を以下のように直接に状態空間モデルに挿入できる。 x ˙ ( t ) = [ − d 1 − d 2 − d 3 − d 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] x ( t ) + [ 1 0 0 0 ] u ( t ) {\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-d_{4}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)} y ( t ) = [ n 1 n 2 n 3 n 4 ] x ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}&n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)} この状態空間実現を可制御正準形式（controllable canonical form）と呼ぶ。「可制御」とされるのは、得られるモデルが可制御であることが保証されているためである。 伝達関数の係数を使って、次のような正準形式も構築可能である。 x ˙ ( t ) = [ − d 1 1 0 0 − d 2 0 1 0 − d 3 0 0 1 − d 4 0 0 0 ] x ( t ) + [ n 1 n 2 n 3 n 4 ] u ( t ) {\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)} y ( t ) = [ 1 0 0 0 ] x ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)} この状態空間実現を可観測正準形式（observable canonical form）と呼ぶ。「可観測」とされるのは、得られるモデルが可観測であることが保証されているためである。
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