斉重対称式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 04:32 UTC 版)
基本対称式の単項式 T = ∏ k = 1 n σ k a k = σ 1 a 1 σ 2 a 2 ⋯ σ n a n {\displaystyle T=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{a_{k}}=\sigma _{1}^{a_{1}}\ \sigma _{2}^{a_{2}}\ \cdots \ \sigma _{n}^{a_{n}}} に対して、重さ w ( T ) = ∑ k = 1 n k a k = a 1 + 2 a 2 + ⋯ + n a n {\displaystyle w(T)=\sum _{k=1}^{n}k\ a_{k}=a_{1}+2\ a_{2}+\cdots +n\ a_{n}} を定義する。 0 でない定数 c をかけた c T の重さも、T と同じとする。σ1,σ2,…,σn の多項式で、重さが同じ単項式の和になっているものを、斉重多項式（せいじゅうたこうしき、isobaric polynomial）という。 基本対称式 σk は、x1,x2,…,xn に関して、k 次の斉次多項式であるので、単項式 T は、x1,x2,…,xn に関して、 w(T) 次の斉次多項式となり、x1,x2,…,xn に関する斉次多項式の次数と、σ1,σ2,…,σn に関する斉重多項式の次数が対応している。 したがって、対称式を基本対称式で表すためには、対称式を、次数の異なる斉次多項式にわけ、それぞれの斉次多項式を、その次数と同じ重さをもつ、斉重多項式で表していけばよい。 s 次の対称式 f(x1,x2,…,xn) を、 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ t = 1 s f t ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{t=1}^{s}f_{t}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} のように、 t 次の斉次多項式 ft(x1,x2,…,xn) の和として表せば、それぞれの斉次多項式 ft は対称式である。 ft は、基本対称式を変数とする、重さが t の単項式の全て Tt,1, Tt,2, …, Tt,m の線型結合によって f t ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ i = 1 m c i T t , i = c 1 T t , 1 + c 2 T t , 2 + ⋯ + c m T t , m {\displaystyle f_{t}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\ T_{t,i}=c_{1}\ T_{t,1}+c_{2}\ T_{t,2}+\cdots +c_{m}\ T_{t,m}} の形で表すことができる。この式に現れる係数 c1, …, cm を求めることで、 ft が、基本対称式を変数とする多項式で表される。 このようにして、ft の和である f も、基本対称式を変数とする多項式で表されることになる。 計算例はこちら→ 計算例1 x1, x2 に関する対称式 f(x1, x2) = x13 x2 + x1 x23 + x12 + x1 x2 + x22 は、4 次の斉次対称式 g(x1, x2) = x13 x2 + x1 x23 と、2 次の斉次対称式 h(x1, x2) = x12 + x1 x2 + x22 の和である。 g は、重さが 4 の σ1,σ2 を変数とする単項式の線形結合 g(x1, x2) = c1 σ14 + c2 σ12 σ2 + c3 σ22 の形になり、係数の、 c1, c2, c3 の 3 つを定めればよい。用いる方法はなんでもよく、例えば、ウェアリングによる方法で定義した次数を使うと、deg(g) = (3,1) であるから、 σ12 σ2 の項が最高次数となり、これより大きな次数の σ14 は現れないので、 c1 = 0 である。恒等式なので、x1 = 1, x1 = −1 という特別な値を代入しても成り立ち、この時、σ1 = 0, σ2 = −1 であるから、c3 = −2 が分かる。 x1 = x2 = 1 とすると、σ1 = 2, σ2 = 1 なので、c2 = 1 とわかり g = σ12 σ2 − 2 σ22 である。 h の方も同様に、重さが 2 の斉重多項式 h(x1, x2) = d1 σ12 + d2 σ2 の形になり、係数を求めると d1 = 1, d2 = −1 となるので h(x1, x2) = σ12 − σ2 となり f = g + h = σ12 σ2 − 2 σ22 + σ12 − σ2 となることが分かる。 計算例2 σ1 = x1 + x2 + x3 σ2 = x3 x1 + x1 x2 + x2 x3 σ3 = x1 x2 x3 を用いて、三次方程式の判別式 D = { (x3 − x1)(x1 − x2)(x2 − x3)}2 を基本対称式の多項式で表す。 D は 6 次の斉次対称式なので、σ1,σ2,σ3 の多項式で書くと、重さが 6 の斉重多項式 D = c1 σ16 + c2 σ14 σ2 + c3 σ13 σ3 + c3 σ12 σ22 + c4 σ1 σ2 σ3 + c5 σ23 + c6 σ32 になる。 D は、 x1 に関して 4 次なので、右辺もそうなるように、 c1 = c2 = 0 でなければならない。 x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1 という特別な値を入れても、この等式は成り立つはずで、 σ1 = σ3 = 0, σ2 = −1 だから、 c5 = −4 とわかる。以下、特殊な値を入れたり、係数を比較したりすることにより、 D = −4σ13 σ3 + σ12 σ22 + 18σ1σ2σ3 −4σ23 + 27 σ32 が得られる。
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