三次方程式の判別式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 03:27 UTC 版)
三次方程式を f(x) = x3 + px + q = 0 とおく。 f'(x) = 3x2 + p D = ( − 1 ) 3 ⋅ ( 3 − 1 ) / 2 1 | 1 0 p q 1 0 p q 3 0 p 3 0 p 3 0 p | ( eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row ) = − | 1 0 p q 1 0 p q 0 0 − 2 p − 3 q 0 0 − 2 p − 3 q 3 0 p | = − | − 2 p − 3 q 0 − 2 p − 3 q 3 0 p | ( expand by Sarrus' rule ) = − ( 4 p 3 + 27 q 2 ) / / {\displaystyle {\begin{aligned}D=&\;{\frac {(-1)^{3\cdot (3-1)/2}}{1}}{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\3&0&p&&\\&3&0&p&\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\&\\&({\mbox{eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row}})\\&\\=&\;-{\begin{vmatrix}1&0&p&q&\\&1&0&p&q\\0&0&-2p&-3q&\\&0&0&-2p&-3q\\&&3&0&p\end{vmatrix}}\\=&\;-{\begin{vmatrix}-2p&-3q&\\0&-2p&-3q\\3&0&p\end{vmatrix}}\quad ({\mbox{expand by Sarrus' rule}})\\=&\;-(4p^{3}+27q^{2})\quad //\end{aligned}}} 一般の三次方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 の判別式は Δ = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd} である。
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