三次方程式の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/21 01:22 UTC 版)
例えば、K が有理数体 Q であり、 P(X) = X3 − 2 のとき、P(X) の分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。従って、 L = Q ( 2 3 , ω 2 ) = { a + b ω 2 + c 2 3 + d 2 3 ω 2 + e 2 3 2 + f 2 3 2 ω 2 | a , b , c , d , e , f ∈ Q } {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})\\&=\{a+b\omega _{2}+c{\sqrt[{3}]{2}}+d{\sqrt[{3}]{2}}\,\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\,|\,a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Q} \}\end{aligned}}} であり、L は K = Q の6次拡大である。ここで、 ω 1 = 1 , ω 2 = − 1 2 + 3 2 i , ω 3 = − 1 2 − 3 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&=1,\\\omega _{2}&=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\\\omega _{3}&=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{aligned}}} は、1 の立方根である。
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