コーシーによる方法

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コーシーによる方法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 04:32 UTC 版)

「対称式」の記事における「コーシーによる方法」の解説

1829年にコーシーは、 1 つの変数に着目した方法を用いた。 x1,x2,…,xn を変数とする n 変数の対称式は、x1 だけを定数と思えば、x2,…,xn を変数とする n−1 変数の対称式でもある。 x1,x2,…,xn を変数とする k 次の基本対称式を σk とし、 x2,…,xn を変数とする k 次の基本対称式を τk とすると σ1 = x1 + τ1 σ2 = τ1 x1 + τ2 … … … σn−1 = τn−2 x1 + τn−1 σn = τn−1 x1 という関係が成り立つ。 τ1 = σ1 − x1 τ2 = σ2 − τ1 x1 = σ2 − (σ1 − x1) x1 = σ2 − σ1 x1 + x12 … と、順に代入を繰り返してみると、τ1, τ2,…,τn−1 は、x1 と σ1, …, σk の多項式で表されることが分かる。 また、x1, x2, …, xn は、 t n − σ 1   t n − 1 + σ 2   t n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1   σ ( n − 1 )   t + ( − 1 ) n   σ n = 0 の根であるから、これらを変数とする多項式は、次数下げなどにより、どの xm (1 ≤ m ≤ n) に関しても n−1 次以下となるような多項式にすることができる。 対称式 f(x1,x2,…,xn) を x1 について整理し、x1k の係数が gk(x2,…,xn, σ1, σ2, …, σn) 、すなわち f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ k = 0 n − 1 g k ( x 2 , x 3 , ⋯ , x n , σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n )   x 1 k であるとすると gk は、x2,…,xn に関しての対称式になる。 n−1 変数の対称式は、基本対称式の多項式で表せるということを仮定すると、 gk は、τ1, τ2,…,τn−1 の多項式で書くことができる。すなわち、どの gk も、x1 と σ1, …, σk の多項式で表される。x1 の次数を下げつつ f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ k = 0 n − 1 h k ( σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n )   x 1 k の形に整理することができる。左辺は対称式なので、x1 と任意の xp を入れ替えても変わらないので、任意の p, q ∈ {1,2,…,n} について ∑ k = 0 n − 1 h k ( σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n )   x p k = ∑ k = 0 n − 1 h k ( σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n )   x q k が成り立つことから、 1 ≤ k ≤ n-1 のとき hk ≡ 0 となり f(x1,x2,…,xn) = h0(σ1,σ2,…,σn) と表され、n 変数の対称式は、基本対称式の多項式で表せることがわかる。n = 1 の時は対称式の基本定理は明らかに成り立つので、数学的帰納法により、n 変数の対称式について基本定理が成り立つ。 計算例はこちら→ 計算例1 x1, x2 に関する対称式 f(x1, x2) = x13 x2 + x1 x23 + x12 + x1 x2 + x22 は、 x2 = σ1 − x1 という関係から f(x1, x2) = x13 ( σ1 − x1 ) + x1 (σ1 − x1 )3 + x12 + x1 ( σ1 − x1 ) + ( σ1 − x1 )2 = σ12 + (σ13 − σ1) x1 + (1 − 3 σ12) x12 + 4 σ1 x13 − 2 x14 ここで x12 − σ1 x1 + σ2 = 0 を用い、x1 について 1次以下にすれば f = σ12 σ2 − 2 σ22 + σ12 − σ2 が得られる。 最後の次数下げの部分は x12 = σ1 x1 − σ2 として、代入し続けてもいいし、多項式の割り算によって f = ( − 2 x1 + 2 σ1 x1 + 2 σ2 −12 + 1 ) (x12 − σ1 x1 + σ2) + σ12 σ2 − 2 σ22 + σ12 − σ2 の第 1 項を 0 としたもの、つまり割り算の余りを基本対称式による表現とすればよい。 計算例2 x2 + x3 = τ1 = σ1 − x1 x2 x3 = τ2 = σ2 − σ1 x1 + x12 x13 = σ1 x12 − σ2 x1 + σ3 の 3 式を用いて、対称式である三次方程式の判別式を計算すると D = { (x3 − x1)(x1 − x2)(x2 − x3)}2 = { x12 − (x2 + x3) x1 + x2 x3}2 {(x2 + x3)2 − 4x2 x3} = (3 x12 − 2σ1 x1 + σ2)2 (−3x12 + 2σ1 x1 +σ12 − 4σ2) = {9 x14 − 12σ1 x13 + (4σ12 + 6σ2) x12 − 4 σ1 σ2 x1 + σ22} (−3x12 + 2σ1 x1 +σ12 − 4σ2) = {(σ12 − 3 σ2)x12 − (σ1σ2 − 9 σ3) x1 + σ22 − 3 σ1σ3}(−3x12 + 2σ1 x1 +σ12 − 4σ2) = (9σ2 − 3σ12)x14 + (2σ13 − 3σ1σ2 − 27 σ3)x13 + (σ14 − 9 σ12σ2 + 27 σ1σ3 + 9σ22) x12+ (−σ13σ2 + 3σ12σ3 + 6σ1σ22 − 36 σ2σ3) x1 + (σ22 − 3 σ1σ3)(σ12 − 4σ2) = σ12 σ22 −4σ13 σ3 −4σ23 + 18σ1σ2σ3 + 27 σ32 となり、最終的に x1 が全て消え、基本対称式を変数とする多項式になる。