推定量の偏りとは? わかりやすく解説

推定量の偏り

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/07/30 13:42 UTC 版)

偏り」の記事における「推定量の偏り」の解説

これは、実際に推定しようとしている量とは違うような平均値をもつ統計量推定量として使ってしまうことをいう。逆にこの平均値推定しようとしている量に等し場合には、不偏推定量という。 推定量観察データ関数) θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} を使って母数 θ を推定するとしよう。θ の偏りは: E ⁡ ( θ ^ ) − θ {\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\theta }})-\theta } と定義される。つまり「推定量期待値本当の値 θ との差」。書き換えると E ⁡ ( θ ^ − θ ) {\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\theta }}-\theta )} つまり「推定量本当の値 θ との差の期待値」。 例えば X1, ..., Xn独立で同じ分布に従うランダム変数でその期待値をμ, 分散不偏分散)をσ2とし、 X ¯ = ( X 1 + ⋯ + X n ) / n {\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n} を標本平均S 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ¯ ) 2 {\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}\,)^{2}} を標本分散とする。するとS2は、σ2の推定量としては偏りがある。なぜなら E ⁡ ( S 2 ) = n − 1 n σ 2 ≠ σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} (S^{2})={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}\neq \sigma ^{2}} しかし標本正規分布に従う母集団から抽出されものならば、この「偏りのある推定量」は、普通用いられる平均二乗誤差」という意味では、S2の分母 n を n-1変えた不偏推定量よりもよい。それでも母分散不偏推定量の平方根は母標準偏差不偏推定量ではない。非線形関数f と母数p の不偏推定量U に対してはf(U) は普通f(p) の不偏推定量ではないからである。 偏りのある推定量不偏推定量よりもよいという極端な例に、次のようなものがある。X が期待値λ のポアソン分布に従うとしよう推定したいのは P ⁡ ( X = 0 ) 2 = e − 2 λ {\displaystyle \operatorname {P} (X=0)^{2}=e^{-2\lambda }\quad } で、不偏推定量当てはまるただ一つ関数は δ ( X ) = ( − 1 ) X {\displaystyle \delta (X)=(-1)^{X}\quad } である。 X の観察値が100とすると、推定量は1となるが、推定する本当の量は明らかに0に近く、これは反対端である。さらにXの観察値が101とすると推定量は-1となってしまうが、推定する量は正でなければならないはずである。最尤推定量最尤法求められる推定量) e − 2 X {\displaystyle e^{-2X}\quad } (これは偏りがある)は上の不偏推定量よりもよい。なぜならその平均二乗誤差 e − 4 λ − 2 e λ ( 1 / e 2 − 3 ) + e λ ( 1 / e 4 − 1 ) {\displaystyle e^{-4\lambda }-2e^{\lambda (1/e^{2}-3)}+e^{\lambda (1/e^{4}-1)}} は、不偏推定量平均二乗誤差 1 − e − 4 λ {\displaystyle 1-e^{-4\lambda }} よりも小さいからである。 この平均二乗誤差本当の値λ の関数である。最尤推定量偏りは e − 2 λ − e λ ( 1 / e 2 − 1 ) {\displaystyle e^{-2\lambda }-e^{\lambda (1/e^{2}-1)}} ということになる。 最尤推定量偏りはかなり大きくなるおそれがある例えば、1 から n まで番号打った n カードを箱に入れた場合考える。ランダムに1枚取り出したところ、番号はX だったとしよう。n が不明ならば、X の期待値が (n+1)/2 だとしても、n の最尤推定量はX であり、n は少なくともX 以上と言えるだけである。この場合、自然な不偏推定量2X-1 である。

※この「推定量の偏り」の解説は、「偏り」の解説の一部です。
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