情報幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/12 04:16 UTC 版)
点 β {\displaystyle \beta } は空間を形成すると解釈され、特にこの空間は多様体となる。この多様体はどのような構造を持つかという疑問が当然に起きる。これを情報幾何学（英語版）という。 ラグランジュ未定乗数に関する多重微分は、半正定値の分散共分散行列を引き起こす。 g i j ( β ) = ∂ 2 ∂ β i ∂ β j ( − log Z ( β ) ) = ⟨ ( H i − ⟨ H i ⟩ ) ( H j − ⟨ H j ) ⟩ {\displaystyle g_{ij}(\beta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{i}\partial \beta ^{j}}}\left(-\log Z(\beta )\right)=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\right)\rangle } この行列は半正定値行列で、計量テンソルと解釈され、リーマン計量と見なせる。このことにより、上記の方法で計量を持つラグランジュ未定乗数の空間は、リーマン多様体となることが分かる。 この多様体の研究は「情報幾何学」と呼ばれ、上記の計量はフィッシャー情報計量（英語版）と呼ばれる。上記では β {\displaystyle \beta } は多様体上の座標である。上記の定義と、これに動機付けられた単純化されたフィッシャー情報とを比較することは面白いことかもしれない。 上記がフィッシャー情報計量を定義することは、期待値を明示的に代入することにより容易に理解することができる。 g i j ( β ) = ⟨ ( H i − ⟨ H i ⟩ ) ( H j − ⟨ H j ) ⟩ = ∑ x P ( x ) ( H i − ⟨ H i ⟩ ) ( H j − ⟨ H j ⟩ ) = ∑ x P ( x ) ( H i + ∂ log Z ∂ β i ) ( H j + ∂ log Z ∂ β j ) = ∑ x P ( x ) ∂ log P ( x ) ∂ β i ∂ log P ( x ) ∂ β j {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}(\beta )&=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\right)\rangle \\&=\sum _{x}P(x)\left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\\&=\sum _{x}P(x)\left(H_{i}+{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta _{i}}}\right)\left(H_{j}+{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta _{j}}}\right)\\&=\sum _{x}P(x){\frac {\partial \log P(x)}{\partial \beta ^{i}}}{\frac {\partial \log P(x)}{\partial \beta ^{j}}}\\\end{aligned}}} ここに、 P ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )} を P ( x ) {\displaystyle P(x)} と記すことして、和は確率変数 X k {\displaystyle X_{k}} のすべてを渡るものとする。もちろん、連続した値をとる確率変数に対して、和は積分に置き換わる。 奇妙なことに、フィッシャー情報計量ついての主要な記事に記載されているように、適当に変数変換した後ではフィッシャー情報計量（英語版）は、平坦なユークリッド計量として理解することもできる。 β {\displaystyle \beta } が複素数であるときには、結果として現れる計量はフビニ・スタディ計量である。純粋状態に代って、混合状態で書くときは、ビュレス計量（英語版）として知られている。
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