式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/20 04:28 UTC 版)
「ギブズ-ヘルムホルツの式」の記事における「式の導出」の解説
自由エネルギーの定義式からエントロピーを消去すると、ギブズ-ヘルムホルツの式が得られる。以下、ヘルムホルツエネルギーを例にとって説明する。ギブズエネルギーに関してもほぼ同様の手順で導出できる。 熱力学第一法則と熱力学第二法則により、内部エネルギー U の全微分 dU について d U = T d S − p d V {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V} が成り立つ。ここで T は熱力学温度、 S はエントロピー、p は圧力、V は体積である。化学ポテンシャルの項は省略した。この式とヘルムホルツエネルギーの定義式 F = U − T S {\displaystyle F=U-TS} から、ヘルムホルツエネルギー F の全微分 dF について d F = d U − T d S − S d T = − S d T − p d V {\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} U-T\mathrm {d} S-S\mathrm {d} T=-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V} が成り立つ。一方、ヘルムホルツエネルギーが温度 T と体積 V の関数 F(T, V) として与えられているとき、全微分 dF は d F = ( ∂ F ∂ T ) V d T + ( ∂ F ∂ V ) T d V {\displaystyle \mathrm {d} F=\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V} と表される。上の2式の dT の係数を比較すると − S = ( ∂ F ∂ T ) V {\displaystyle -S=\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}} が導けるから、これをヘルムホルツエネルギーの定義式 F = U − TS に代入すると、ギブズ-ヘルムホルツの式 U = F − T ( ∂ F ∂ T ) V {\displaystyle U=F-T\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}} が得られる。 他の等価な式は、微分の公式を使うと [ ∂ ( F / T ) ∂ ( 1 / T ) ] V = − T 2 [ ∂ ∂ T ( F T ) ] V = F − T ( ∂ F ∂ T ) V {\displaystyle \left[{\frac {\partial (F/T)}{\partial (1/T)}}\right]_{V}=-T^{2}\left[{\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {F}{T}}\right)\right]_{V}=F-T\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}} となることから、直ちに得られる。
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式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/24 00:21 UTC 版)
「クリアランス (医学)」の記事における「式の導出」の解説
式(1)は以下の物質収支の式(2)から導かれる。この式の意味するところは、 ある経過時間Δt での体内における異物の物質量の変化Δm は、その摂取と生成を合算したものからその除去を差し引いたものである。 ここで、 Δt は経過時間 Δmbody は体内でΔt の間に変化した異物の物質量 は異物の摂取率、 は異物の除去率、 は異物の生成率 を表す。 ところが、 全身水分量V の変化量はほぼ無視できるので、となり、式(1)が導かれる。
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