等エントロピー関係式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 01:48 UTC 版)
「等エントロピー過程」の記事における「等エントロピー関係式の導出」の解説
閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。 d U = d W + d Q {\displaystyle dU=dW+dQ\,\!} 体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。 d W = − p d V {\displaystyle dW=-pdV\,\!} ここで p {\displaystyle p} は圧力、 V {\displaystyle V} は体積である。エンタルピー ( H = U + p V {\displaystyle H=U+pV\,\!} ) の変化は次のようになる。 d H = d U + p d V + V d p = n C p d T {\displaystyle dH=dU+pdV+Vdp=nC_{p}dT\,\!} 可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、 d Q = 0 , d S = 0 {\displaystyle dQ=0,dS=0\,\!} である。ここから次の重要な2つの式が導出される。 d U = − p d V {\displaystyle dU=-pdV\,\!} , および d H = V d p {\displaystyle dH=Vdp\,\!} または d Q = d H − V d p = 0 {\displaystyle dQ=dH-Vdp=0\,\!} d Q = T d S {\displaystyle dQ=TdS\,\!} ⇒ d S = ( 1 / T ) d H − ( V / T ) d p {\displaystyle dS=(1/T)dH-(V/T)dp\,\!} すると、比熱比は次のようになる。 γ = C p C V = − d p / p d V / V {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}\,\!} 理想気体では γ {\displaystyle \gamma \,\!} は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。 p V γ = constant {\displaystyle pV^{\gamma }={\mbox{constant}}\,} であるから p 2 p 1 = ( V 1 V 2 ) γ {\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }} 理想気体の状態方程式 p V = n R T {\displaystyle pV=nRT\,\!} を使うと、次のようになる。 T V γ − 1 = constant {\displaystyle TV^{\gamma -1}={\mbox{constant}}\,} p γ − 1 T γ = constant {\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\mbox{constant}}} また、 C p = C v + R {\displaystyle C_{p}=C_{v}+R} （モル単位）が成り立つので、 V T = n R p {\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}} かつ p = n R T V {\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}} S 2 − S 1 = n C p ln ( T 2 T 1 ) − n R ln ( p 2 p 1 ) {\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)} S 2 − S 1 n = C p ln ( T 2 T 1 ) − R ln ( T 2 V 1 T 1 V 2 ) = C v ln ( T 2 T 1 ) + R ln ( V 2 V 1 ) {\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)} 以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。 T 2 = T 1 ( V 1 V 2 ) ( R / C v ) {\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}} または V 2 = V 1 ( T 1 T 2 ) ( C v / R ) {\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}
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