等スペクトル性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:38 UTC 版)
λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} 、 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} をそれぞれ時刻 t における L(t) の1つの固有値、およびその固有値を持つ固有ベクトルの1つとすれば L ( t ) ψ ( t ) = λ ( t ) ψ ( t ) {\displaystyle L(t)\psi (t)=\lambda (t)\psi (t)} である。少々天下り的ではあるが、この λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} が時刻と共に変動しない条件を考えてみる。まずこの式の両辺を時刻 t で偏微分すれば、 ∂ L ∂ t ψ + L ∂ ψ ∂ t = ∂ λ ∂ t ψ + λ ∂ ψ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}\psi +L{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\psi +\lambda {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} である。 ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}} をラックス方程式を用いて書き換え、さらに ∂ λ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial t}}=0} とすれば、 ( A L − L A ) ψ + L ∂ ψ ∂ t − λ ∂ ψ ∂ t = 0 {\displaystyle (AL-LA)\psi +L{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\lambda {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=0} λ(t) と A(t) が交換可能なことを利用して、さらに整理すれば、 ( L − λ ) ( A − ∂ ∂ t ) ψ = 0 {\displaystyle (L-\lambda )(A-{\frac {\partial }{\partial t}})\psi =0} 従って、 ∂ ψ ∂ t = A ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=A\psi } であれば、 λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} は時刻と共に変動しないことが分かる (ただしこれは十分条件であって必要条件ではないことを注意しておく)。 このような場合、行列 (または作用素) である L(t) は t の変動に関して等スペクトル的（英語版）であると表現される。 一方、ラックス方程式は、実は量子力学におけるハイゼンベルクの運動方程式の特別な場合(観測可能量を表す作用素が時刻t を陽に含まない場合) と全く同じ形式をしている。ハイゼンベルク方程式においては、 系のハミルトニアンを H(t) とすると、A(t) に相当するのは、 − i ℏ H ( t ) {\displaystyle -{\frac {i}{\hbar }}H(t)} である。また位置や運動量についてのハイゼンベルク形式の観測可能量(オブザーバブル)が L(t) に相当する。ハイゼンベルク方程式との類推から、ラックス方程式の解は、 L ( t ) = U ( t , t 0 ) L ( t 0 ) U ( t , t 0 ) − 1 {\displaystyle L(t)=U(t,t_{0})L(t_{0})U(t,t_{0})^{-1}\ } と表される。ここで t、 t 0 {\displaystyle t_{0}} は任意の時刻を表し、 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} は次の方程式の解であり、時間推進作用素(time evolution operator)と呼ばれる。 ∂ ∂ t U ( t , t 0 ) = A ( t ) U ( t , t 0 ) , U ( t 0 , t 0 ) = I {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})=A(t)U(t,t_{0}),\qquad U(t_{0},t_{0})=I} I は単位行列を表す。このような U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} は常に存在することが証明でき、特に任意の時刻 t 1 {\displaystyle t_{1}} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}} で、 A ( t 1 ) {\displaystyle A(t_{1})} と A ( t 2 ) {\displaystyle A(t_{2})} が可換であれば、 U ( t , t 0 ) = e ∫ t 0 t A ( τ ) d τ {\displaystyle U(t,t_{0})=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(\tau )d\tau }} である。また t 1 {\displaystyle t_{1}} を任意の時刻として、 U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) = U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})=U(t,t_{0})\ } という関係が常に成り立つ。従って、 U ( t , t 0 ) − 1 = U ( t 0 , t ) {\displaystyle U(t,t_{0})^{-1}=U(t_{0},t)\ } である。なお、もし A(t) が歪エルミートであれば、 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} はユニタリとなることを注意しておく。 さて、 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} を用いれば、 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} は、 ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle \psi (t)=U(t,t_{0})\psi (t_{0})\ } と表現される。実際これに L(t) を作用させれば、 L ( t ) ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) L ( t 0 ) U ( t , t 0 ) − 1 U ( t , t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle L(t)\psi (t)=U(t,t_{0})L(t_{0})U(t,t_{0})^{-1}U(t,t_{0})\psi (t_{0})\ } = U ( t , t 0 ) L ( t 0 ) ψ ( t 0 ) = U ( t , t 0 ) λ ( t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle =U(t,t_{0})L(t_{0})\psi (t_{0})=U(t,t_{0})\lambda (t_{0})\psi (t_{0})\ } = λ ( t 0 ) ψ ( t ) {\displaystyle =\lambda (t_{0})\psi (t)\ } となって、確かに L(t) の固有値 λ {\displaystyle \lambda } は時刻と共に変動しないことが分かる。 以上をまとめると、あるラックス・ペアにおいて、時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} で L ( t 0 ) {\displaystyle L(t_{0})} 、 A ( t 0 ) {\displaystyle A(t_{0})} についての初期条件が与えられ、その時刻における固有値問題 L ( t 0 ) ψ ( t 0 ) = λ ( t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle L(t_{0})\psi (t_{0})=\lambda (t_{0})\psi (t_{0})} の解が得られれば、任意の時刻 t における固有値問題 L ( t ) ψ ( t ) = λ ( t ) ψ ( t ) {\displaystyle L(t)\psi (t)=\lambda (t)\psi (t)} の解は、次の式で与えられるということである。 λ ( t ) = λ ( t 0 ) {\displaystyle \lambda (t)=\lambda (t_{0})\ } (固有値またはスペクトルは不変) ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle \psi (t)=U(t,t_{0})\psi (t_{0})\ }
※この「等スペクトル性」の解説は、「ラックス・ペア」の解説の一部です。
「等スペクトル性」を含む「ラックス・ペア」の記事については、「ラックス・ペア」の概要を参照ください。
- 等スペクトル性のページへのリンク
