平滑化漸近線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 06:54 UTC 版)
.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}} 級数 1 + 2 + 3 + 4 + … 平滑化したもの テレンス・タオは級数の平滑化によって −1/12 が得られることを指摘している。平滑化はゼータ関数正規化（複素解析を背景とする）とラマヌジャン総和法（オイラー＝マクローリンの公式の便法）とを概念的に橋渡しするものである。これは、保守的な級数変化法を直接操作する代わりに、実解析の方法論を用いるのである。 この考えは、素性の悪い (ill-behaved) 離散的級数 ∑ n = 0 N n {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=0}^{N}n} を、よい性質 (well-behaved) のカットオフ関数 f を用いて、その滑らかな変形版 ∑ n = 0 ∞ n f ( n / N ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=0}^{\infty }nf(n/N)} で置き換える。このカットオフ関数は f(0) = 1 に正規化されていなければならない。カットオフ関数は級数の悪い点を滑らかにするために充分に有界な導関数を持ち、級数の増加よりも早く 0 に減少する必要がある。便宜のため、f は滑らかで有界かつ台がコンパクトであるものと仮定する。このとき、この平滑化された和が − 1/12 + CN2 に漸近することが示される（ただし C は f に依存して決まる定数）。この漸近展開の定数項は f の選び方に依らないが、これが必ずしも解析接続によって得られる値 −1/12 と同じであると決まっているわけではない。
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