巡回群の部分群と記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:48 UTC 版)
巡回群の任意の部分群および剰余群は、それ自身が巡回群である。特に整数全体の成す加法群 Z の任意の部分群は、適当な整数 m ≥ 0 によって mZ の形で書ける。これらの部分群は m が異なれば全て互いに異なり、一方（m = 0 のとき自明群となることを除けば）全て Z に同型である。Z の部分群束（英語版）は整除関係を順序とする自然数全体の成す束の双対に同型である。Z の任意の剰余群は、自明な例外 Z/{0} = Z/0Z を除いて全て有限群である。また n の任意の正の約数 d に対して、剰余群 Z/nZ は位数 d の部分群をちょうど一つ持ち、それは n/d の属する剰余類によって生成される。Z/nZ の部分群は必ずこのようにして得られるので、部分群の束は n の約数全体の成す集合に整除関係で順序を入れたものに同型となる。特に、巡回群が単純群となるための必要十分条件は、その位数（元の個数）が素数となることである。 位数 n の（加法的に書かれた）巡回群を加法群 Z の剰余群として定式化するならば Z/nZ がそれを表す標準的な記法ということになる。あるいは環論の言葉で言えば、部分群 nZ は環 Z のイデアルでもあり、(n) とも書かれるので、同じ巡回群を Z/(n)（あるいは Z/n）と書くことも（剰余環の加法群として捉えれば意味のある記法であるので）記号の濫用ということにはならない。これらの別記法であれば p-進整数環の記法と衝突しないし、後者の記法であれば環としても群としても言葉の上では「Z 割る n」といった感じで読めるので、形式張らない計算ではよく用いられる。 実際の問題としては、g で生成される位数 n の有限部分群 C が与えられたとき、適当な整数 k に対する gk で生成される部分群の位数 m を求めよというようなものが挙げられる。この場合、m は mk が n で割り切れるような最小の正整数として得られるものであり、従って d = gcd(k, n) を k と n の最大公約数とするときの n/d に等しい。別な言い方をすれば gd が生成する部分群の指数が m である。
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