可比数とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > 可比数の意味・解説 

有理数

(可比数 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/17 01:48 UTC 版)

有理数(ゆうりすう、: rational number)とは、整数: ratio)として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数(分母≠0)として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。

概要

有理数は(十進法などの)位取り記数法小数表示すると有限小数または循環小数のいずれかとなる(どちらになるかは基数に依存する。ある基数で有限小数となる有理数が別の基数では循環小数となること、あるいはその逆になることはある)。また、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。

有理数全体からなる集合はしばしば、太字の Q で表す。これは、イタリア人数学者ペアノによって1895年に最初に表された、: quotient)を意味するイタリア語: quoziente の頭文字に由来する[1]。手書きなどの際には、黒板太字と言われる書体を用いた

各直線(の整数点)がそれぞれ1つの同値類(すなわち有理数)に対応する。どの直線も原点は含まないが、原点をはさんだ反対側は同じ同値類である(図では同じ色で塗ることでそれを表している)。

集合論の形式により、整数全体 Z から有理数全体 Q を構成することができる。まず整数の順序対 (a, b)b ≠ 0 であるものの全体 E = Z ×(Z − {0}) を考える。ここで E 上の関係 ∼ を

有理数の数え上げの一例を図示したもの。やり方は他にもいろいろあるが、いずれにせよ有理数の可算性が分かる。

基本性質

既に述べたように、有理数全体は、通常の四則演算の下でを成し、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる。また、有理整数Z商体である。加えて、有理数体 Q標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる(すなわち、標数 0 の体は、Q に同型な部分体を含む)。Q拡大体は一般に代数体、その元は代数的数と呼ばれ、特に代数的数全体は体を成し Q代数的閉包 AQ とも書く)となる。

Q可算無限集合である(何故なら、分母と分子の組を二次元平面上の格子点と考え、例えばうずまき状に取り尽くしていけば、自然数全体に対応するからである)。実数全体 R非可算なので、濃度の意味で(あるいはルベーグ測度の意味で)ほとんどの実数は無理数であることになる(可算性により Q のルベーグ測度は 0 となる)。

Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、2つの有理数の間には(それがいくら近い値だとしても)少なくとも1つ(従って無数の)有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である(カントールの往復論法)。

位相的性質

有理数全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の(つまり、一次元ユークリッド空間 R1 としての)距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。

有理数全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どの実数にも、いくらでも近い場所に有理数が存在することを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。

有理数全体 Q は、差の絶対値

外部リンク




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

カテゴリ一覧

すべての辞書の索引



Weblioのサービス

可比数のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



可比数のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの有理数 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS