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クンマー環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 08:36 UTC 版)

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抽象代数学におけるクンマー環（クンマーかん、英: Kummer ring）あるいは円分整数環 $ℤ [ζ]$ は、複素数体の部分環で、その各元は

n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+\dotsb +n_{m-1}\zeta ^{m-1}

の形をしている。ただし、

ζ ≔ exp (2 πi / m)

は

1

m

n 0, \dots, n m -1

は整数である。名称は、このような形の数の素因数分解について研究したエルンスト・クンマーに因む。

クンマー環は有理整数環 $ℤ$ の拡大環であり、記号 $ℤ [ζ]$ はそのことを受けてのものになっている。 $ζ$ の最小多項式は $m$ -次の円分多項式であるから、この環 $ℤ [ζ]$ は $ℤ$ の $φ (m)$ -次拡大である。クンマー環 $ℤ [ζ]$ の単数全体の成す集合には、

\{1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{m-1}\}

が含まれる。ディリクレの単数定理により一般には無限位数の単数も存在するが、例外は

m = 1

または

m = 2

（つまり、有理整数環

ℤ

）の場合、

m = 4

ℤ [i]

）の場合、および

m = 3

または

m = 6

ℤ [ω]

）の場合である。

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