凸超多面体のトーリック多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/23 02:10 UTC 版)
「トーリック多様体」の記事における「凸超多面体のトーリック多様体」の解説
N内の 有理な凸超多面体（convex polytope）の扇は、固有の面の上方にある錐で構成される。超多面体のトーリック多様体とは、その扇のトーリック多様体である。この構造の多様体は、Nの双対にある有理な超多面体をとることができ、N内にてその極集合のトーリック多様体をとることができる。 トーリック多様体は、ファイバーがトーラス位相となるNの双対の中に、超多面体の写像を有する。例えば、複素射影平面（英語版）（complex projective plane）CP2は3つの複素座標によって表される。 | z 1 | 2 + | z 2 | 2 + | z 3 | 2 = 1 , {\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!} ここでの総和は、射影写像での実際の拡大縮小（rescaling） 部分を構成するために選択され、座標は以下の U(1)の作用によってさらに識別されなければならない。 ( z 1 , z 2 , z 3 ) ≈ e i ϕ ( z 1 , z 2 , z 3 ) . {\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\approx e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!} トーリック幾何のアプローチで書くのなら、 ( x , y , z ) = ( | z 1 | 2 , | z 2 | 2 , | z 3 | 2 ) . {\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\!} 座標 x , y , z {\displaystyle x,y,z} は非負で、それらは三角形をパラメータ化する。 x + y + z = 1 ; {\displaystyle x+y+z=1;\,\!} つまりは、 z = 1 − x − y . {\displaystyle \quad z=1-x-y.\,\!} この三角形は複素射影平面のトーリック基底(toric base)である。その一般的なファイバーは2-トーラスであり、 z 1 , z 2 {\displaystyle z_{1},z_{2}} の位相でパラメータ化される。 z 3 {\displaystyle z_{3}} の位相はU(1) 対称性により正の実数が選択される。 しかしながら、 z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} の位相がそれぞれ重要でなくなるため、2-トーラスは三角形上の境界上の3つの異なる円、すなわち、 x = 0 {\displaystyle x=0} または y = 0 {\displaystyle y=0} または z = 0 {\displaystyle z=0} に退化する。 トーラス内の円の正確な向きは、通常、直線区間（この場合、三角形の辺）の傾きにより表される。
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