凸集合と不動点(Convex sets and fixed points)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/10 22:45 UTC 版)
「アロードブリューモデル」の記事における「凸集合と不動点(Convex sets and fixed points)」の解説
詳細は「角谷の不動点定理」を参照 「凸集合」、「コンパクト集合」、「連続写像」、「不動点定理」、および「ブラウワーの不動点定理」も参照 1954 年、McKenzie とそのペアである Arrow と Debreu は、コンパクト、凸集合からそれ自身への連続写像の不動点上での角谷の不動点定理を援用し、一般均衡の存在を証明した。Arrow と Debreu のアプローチでは、凸性は本質的である。なぜならばそのような不動点定理は非凸集合には適用できないからである。たとえば、単位円の 90 度回転は不動点を欠いているが、この回転はコンパクト集合のそれ自身への連続な変形である。コンパクトだが、単位円は非凸である。対照的に、単位円の凸包に適用された同様の回転は、点 (0,0) を固定した状態にしている。ここで、角谷の定理はちょうどひとつの不動点が存在することを主張していないことに留意すべきである。単位円盤の 360 度回転は単位円盤全体を固定したままにする。したがって、この回転は無限の不動点を持つ。
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