凹レンズに関する証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/22 16:16 UTC 版)
「レンズの公式」の記事における「凹レンズに関する証明」の解説
（証明） △ a b o {\displaystyle \triangle abo} と △ a ′ b ′ o {\displaystyle \triangle a'b'o} が相似であることより、 a b : a ′ b ′ = b o : b ′ o ′ = A : B {\displaystyle {\begin{aligned}ab:a'b'&=bo:b'o'\\&=A:B\\\end{aligned}}} と言え、また △ p o f {\displaystyle \triangle pof} と △ a ′ b ′ f {\displaystyle \triangle a'b'f} が相似であることより、 p o : a ′ b ′ = o f : b ′ f = F : ( F − B ) {\displaystyle {\begin{aligned}po:a'b'&=of:b'f\\&=F:(F-B)\\\end{aligned}}} と言える。ところで、 a b = p o {\displaystyle ab=po} であるから、 A : B = F : ( F − B ) A ( F − B ) = B F A F − A B = B F B F − A F = − A B {\displaystyle {\begin{array}{lcl}A:B&=&F:(F-B)\\A(F-B)&=&BF\\AF-AB&=&BF\\BF-AF&=&-AB\end{array}}} となり、これを ( A B F ) {\displaystyle (ABF)} で割ると、 B F A B F − A F A B F = − A B A B F ∴ 1 A − 1 B = − 1 F {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\frac {BF}{ABF}}-{\frac {AF}{ABF}}&=&-{\frac {AB}{ABF}}\\\therefore {\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}&=&-{\frac {1}{F}}\end{array}}} 凹レンズによる虚像であるため B, F を負の数で表し F' = -F; B' = -B とおくと、上式は 1 A + 1 B ′ = 1 F ′ {\displaystyle {\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{F'}}} となる。 (証明終わり)
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