凸集合による定義

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凸集合による定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 17:31 UTC 版)

「局所凸位相ベクトル空間」の記事における「凸集合による定義」の解説

V 内のある部分集合 C について、以下が成り立つ： C が凸であるとは、C 内の任意の x, y と 0 ≤ t ≤ 1 に対して、tx + (1 – t)y が C 内に含まれることを言う。これを言い換えると、C はその内部の点の間のすべての線分を含むということになる。 C が circled であるとは、C 内の任意の x に対して、|λ| = 1 ならば λx が C 内に含まれることを言う。K = R であるなら、このことは C が原点を通るその鏡映と等しいことを意味する。K = C に対しては、このことは C 内の任意の x によって生成される一次元複素部分空間において、x を通る原点中心の円板を C が含むことを意味する。 C が（考えている体が順序付けられている場合に）錐であるとは、C 内の任意の x と 0 ≤ λ ≤ 1 に対して、λx が C 内に含まれることを言う。 C が均衡であるとは、C 内の任意の x に対し、|λ| ≤ 1 であるなら λx が C 内に含まれることを言う。K = R であるなら、このことはもし x が C 内にあるなら、C は x と −x の間の線分を含むことを意味する。K = C に対してこのことは、C 内の任意の x が生成する一次元複素部分空間において、原点を中心とし x を境界に置く円板を C が含むことを意味する。また同値であるが、均衡集合は circled な錐である。 C が併呑であるとは、すべての t > 0 についての tC の合併が V 全体であること、あるいは同値であるが V 内のすべての x に対し、tx が C に含まれるようなある t > 0 が存在することを言う。集合 C は、その空間内のすべての点を併呑するために膨張させることが出来る。 C が絶対凸であるとは、それが均衡かつ凸であることを言う。 より簡潔に、V のある部分集合が絶対凸であるとは、係数の絶対和が ≤ 1 であるような線型結合の下で閉じていることを言う。そのような集合は、V 全体を張るとき、併呑と呼ばれる。 局所凸位相ベクトル空間とは、原点が絶対凸併呑集合の局所基を持つような位相ベクトル空間のことを言う。平行移動は（位相ベクトル空間の定義より）連続であるため、すべての平行移動は位相同型であり、したがって原点の近傍のすべての基は与えられた任意のベクトルの近傍に対する基へと平行移動することが出来る。