作用積分のオイラー＝ラグランジュ方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/22 14:52 UTC 版)
「作用 (物理学)」の記事における「作用積分のオイラー＝ラグランジュ方程式」の解説
作用汎関数の節でも触れたが、一般化座標の時間発展の小さな摂動の下で作用積分が停留点を持つという要請は、変分法を用いて与えられる一連の微分方程式（つまりオイラー＝ラグランジュ方程式）と同値である。このことを一般化座標が一変数 x の場合を例に取って説明する。多変数への拡張は一変数での議論をそのまま適用すればよい。 ハミルトンの原理（英語版）を受け入れるならば、作用積分の被積分関数であるラグランジアン L は、座標 x(t) とその時間微分 dx(t)/dt にのみ依存するか、あるいは問題によって、それらに加えて時刻 t に陽に依存する。このラグランジアンに対する作用積分は次のように書き表わすことができる。 S = ∫ t i t f L ( x , x ˙ , t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;L(x,{\dot {x}},t)\,\mathrm {d} t} ここで、運動の初期時刻 ti と終端時刻 tf、および初期位置 xi = x(ti) と終端位置 xf = x(tf) はあらかじめ固定しておく。 xtrue(t) を求める真の時間発展とし、その摂動バージョンを xper(t) とする。ただし摂動バージョンの端点は真の時間発展に一致するものとし、xper(ti) = xi かつ xper(tf) = xf なるものを選ぶ。同時刻における2つの時間発展の差 ε ( t ) = x p e r ( t ) − x t r u e ( t ) {\displaystyle \varepsilon (t)=x_{\mathrm {per} }(t)-x_{\mathrm {true} }(t)} はすべての時刻において充分小さいものとする。摂動に関する仮定から、時間発展の両端においてこの差分は正確に 0 に等しい。 作用積分の変分 δ S = S p e r − S t r u e {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{\mathrm {per} }-{\mathcal {S}}_{\mathrm {true} }} S p e r − S t r u e = ∫ t i t f [ L ( x p e r , x ˙ p e r , t ) − L ( x t r u e , x ˙ t r u e , t ) ] d t {\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {per} }-{\mathcal {S}}_{\mathrm {true} }=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left[L(x_{\mathrm {per} },{\dot {x}}_{\mathrm {per} },t)-L(x_{\mathrm {true} },{\dot {x}}_{\mathrm {true} },t)\right]\mathrm {d} t} δ S = ∫ t i t f [ L ( x t r u e + ε , x ˙ t r u e + ε ˙ , t ) − L ( x t r u e , x ˙ t r u e , t ) ] d t = ∫ t i t f ( ε ∂ L ∂ x + ε ˙ ∂ L ∂ x ˙ ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left[L(x_{\mathrm {true} }+\varepsilon ,{\dot {x}}_{\mathrm {true} }+{\dot {\varepsilon }},t)-L(x_{\mathrm {true} },{\dot {x}}_{\mathrm {true} },t)\right]\mathrm {d} t\\&=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}+{\dot {\varepsilon }}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}} δ S = ∫ t i t f ( ε ∂ L ∂ x − ε d d t ∂ L ∂ x ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}-\varepsilon {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,\mathrm {d} t} 作用 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が停留点を持つという要請は、真の時間発展の周りのすべての可能な摂動はその一次変化がゼロである、という要請を暗に含んでいる（停留作用の原理）。 停留作用の原理 δ S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0} オイラー＝ラグランジュ方程式 ∂ L ∂ x − d d t ∂ L ∂ x ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0} δ S δ x ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta x(t)}}=0} ∂ L ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0} d d t ∂ L ∂ x ˙ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=0} この場合の x は巡回的 (cyclic) な座標と呼ばれ、その共役運動量は保存される。
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