三角形の円錐曲線

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三角形の円錐曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/07 10:22 UTC 版)

このページ名「三角形の円錐曲線」は暫定的なものです。（2024年5月）

ユークリッド幾何学において、三角形の円錐曲線または三角形の二次曲線（英:Triangle conic）は三角形に定義される、円錐曲線の総称である。 たとえば、外接円や内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、アルツト放物線のようなものもある^[1]。

三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている （^[2][3][4][5]などを参照）。ギリシャの数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が外接するとは、△ABCの頂点3つを通ることであり、円錐曲線が内接するとは3辺に接することである」と述べた^[6][7]。三角形の円、楕円、放物線、双曲線（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。

Encyclopedia of Triangle CentersやCatalogue of Triangle Cubicsのような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない^[8]。

三線座標による式

三線座標x : y : zを用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。$${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$$

△ABCの外接円

2 内接円 3辺に接する内側の円 ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

△ABCの内接円

3 傍接円 辺の一つとは辺の内部で接し、他2辺とは延長線上で接する円 ${\displaystyle {\begin{aligned}\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\end{aligned}}}$

内接円と傍接円

4 九点円 辺の中点、頂垂線の足、垂心と頂点の中点などを通る円 ${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C\ -\\&2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0\end{aligned}}}$

九点円

5 第一ルモワーヌ円 ルモワーヌ点を通り、各辺に平行な線と、他2辺の交点を通る円^[10]

第一ルモワーヌ円

三角形の楕円

有名な三角形の楕円

No.	名称	定義	等式	図
1	シュタイナー外接楕円	△ABCの頂点を通り、重心を中心に持つ楕円	${\displaystyle {\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{by}}+{\frac {1}{cz}}=0}$ △ABCのシュタイナー楕円
2	シュタイナーの内接楕円	各辺と接し、重心を中心にもつ楕円	${\displaystyle {\begin{aligned}&a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-\\&2bcyz-2cazx-2abxy=0\end{aligned}}}$ △ABCのシュタイナーの内接楕円

三角形の双曲線

三角形の双曲線

No.	名称	定義	等式	図形
1	キーペルト双曲線	3つの相似な二等辺三角形△XBC, △YCA, △ZAB, を三角形の同じ側に作ったときAX, BY, CZが交わる点の軌跡	${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0}$ △ABCのキーペルト双曲線。垂心Oと重心G、頂点A, B, Cを通る。.
2	ジェラベク双曲線	三角形の頂点、垂心、外心を通る双曲線	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}\\[2pt]&+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0\end{aligned}}}$ △ABCのジェラベク双曲線
3	フォイエルバッハ双曲線	三角形の頂点、垂心、内心を通る円	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos B-\cos C}{x}}+{\frac {\cos C-\cos A}{y}}\\&+{\frac {\cos A-\cos B}{z}}=0\end{aligned}}}$ △ABCのフォイエルバッハ双曲線

三角形の放物線

有名な三角形の放物線

No.	名称	定義	等式	図
1	アルツト放物線[11][12][1]	B, CでAB, ACと接する放物線（他2組についても同様）	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4yz}{bc}}&=0\\[2pt]{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {4zx}{ca}}&=0\\[2pt]{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {4xy}{ab}}&=0\end{aligned}}}$ △ABCのアーツ放物線
2	キーペルト放物線[13]	3つの相似な二等辺三角形△A'BC, △AB'C, △ABC' を同じ側に作ったとき、△ABCと△A'B'C' の配景の軸が成す包絡線	${\displaystyle {\begin{aligned}&f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-\\[2pt]&2fgxy-2ghyz-2hfzx=0,\\[8pt]&{\text{where }}f=b^{2}-c^{2},\\&g=c^{2}-a^{2},\ h=a^{2}-b^{2}.\end{aligned}}}$ △ABCのキーペルト放物線。LMNの包絡線である。

三角形の円錐曲線の族

ホフスタッター楕円

△ABCのホフスタッター楕円

ホフスタッター楕円（Hofstadter ellipses）はある媒介変数によってあらわされる楕円の集合である^[14]。$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0}$$

平行線によって構築される円錐曲線

△ABCと点Pについて、Pを通るBC,CA,ABに平行な線と、他2辺との交点をそれぞれX_b, X_c, Y_c, Y_a, Z_a, Z_bとする。この6点は同一円錐曲線上にある。特にPが類似重心であるとき円となる。Pの三線座標をu:v:wとすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される^[17]。$${\displaystyle -(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0}$$

九点円錐曲線

詳細は「九点円錐曲線」を参照

△ABCと点Pについて、AB,BC,CA,AP,BP,CPの中点と、AB,CP、BC,AP、CA,BPの交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という^[18][19][20]。Pが垂心のとき円（九点円）、重心のとき内接楕円（シュタイナーの内接楕円）となる。

イフ円錐曲線

イフ円錐曲線

媒介辺数 ${\displaystyle \lambda }$

ラビノヴィッチ円錐曲線

△ABCと点Pについて、同じ向きにAP//BD//CE,BP//CG//AF,CP//AH//BIで、AP=AF=AH,BP=BD=BI,CP=CE=CGを満たすように点D,E,F,G,H,Iをとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う^[22]。

関連

• 三角形の中心
• Central line
• 中心三角形（英語版）
• 三角形の三次曲線
• 近代三角形幾何学

出典

1. ^ ^{a b} 小倉金之助 訳『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂、1915年、853頁。doi:10.11501/1082037。 
2. ^ Paris Pamfilos (2021). “Equilaterals Inscribed in Conics”. International Journal of Geometry 10 (1): 5–24. 
3. ^ Christopher J Bradley. “Four Triangle Conics”. Personal Home Pages. University of BATH. 11 November 2021閲覧。
4. ^ Gotthard Weise (2012). “Generalization and Extension of the Wallace Theorem”. Forum Geometricorum 12: 1–11. https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201201index.html 12 November 2021閲覧。. 
5. ^ Zlatan Magajna. “OK Geometry Plus”. OK Geometry Plus. 12 November 2021閲覧。
6. ^ “Geometrikon”. Paris Pamfilos home page on Geometry, Philosophy and Programming. Paris Palmfilos. 11 November 2021閲覧。
7. ^ “1. Triangle conics”. Paris Pamfilos home page on Geometry, Philosophy and Programming. Paris Palfilos. 11 November 2021閲覧。
8. ^ Bernard Gibert. “Catalogue of Triangle Cubics”. Cubics in Triangle Plane. Bernard Gibert. 12 November 2021閲覧。
9. ^ Cook, Nelle May (1929). A triangle and its circles. hdl:2097/23902. https://hdl.handle.net/2097/23902 2024年6月19日閲覧. "Call issue: LD2668 .T4 1929 C65" 
10. ^ Weisstein, Eric W.. “First Lemoine Circle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月5日閲覧。
11. ^ Nikolaos Dergiades (2010). “Conics Tangent at the Vertices to Two Sides of a Triangle”. Forum Geometricorum 10: 41–53. 
12. ^ “Conics Tangent at the Vertices to Two Sides of a Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年5月6日閲覧。
13. ^ R H Eddy and R Fritsch (June 1994). “The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Tr”. Mathematics Magazine 67 (3): 188–205. doi:10.1080/0025570X.1994.11996212. 
14. ^ Weisstein, Eric W.. “Hofstadter Ellipse”. athWorld--A Wolfram Web Resource.. Wolfram Research. 25 November 2021閲覧。
15. ^ Roscoe Woods (1932). “Some Conics with Names”. Proceedings of the Iowa Academy of Science 39 Volume 50 (Annual Issue). 
16. ^ “K004 : Darboux cubic”. Catalogue of Cubic Curves. Bernard Gibert. 26 November 2021閲覧。
17. ^ Paul Yiu (Summer 2001). Introduction to the Geometry of the Triangle. p. 137. https://mathwo.github.io/assets/files/barycentric/introduction_to_the_geometry_of_the_triangle.pdf 26 November 2021閲覧。 
18. ^ “初等幾何における円錐曲線の活躍”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年5月6日閲覧。
19. ^ Bocher, Maxime (1892). “On a Nine-Point Conic”. Annals of Mathematics 6 (5): 132–132. doi:10.2307/1967142. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/1967142. 
20. ^ Weisstein, Eric W.. “Nine-Point Conic” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月6日閲覧。
21. ^ Clark Kimberling (2008). “Yff Conics”. Journal for Geometry and Graphics 12 (1): 23–34. 
22. ^ “Rabinowitz Conics Associated with a Triangle”. International Journal of Computer Discovered Mathematics. 2024年5月6日閲覧。