万有引力定数 G と地球質量の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:09 UTC 版)
「キャヴェンディッシュの実験」の記事における「万有引力定数 G と地球質量の導出」の解説
記号の定義については本項の図と末尾の表を参照。 以下に述べる方法はキャヴェンディッシュが実際に使用した計算方法ではないが、現代の物理学者たちが彼の実験結果をどのように利用しているのかを示すものである。フックの法則により、ねじりワイヤーのトルクは天秤の変位角 θ {\displaystyle \theta \,} に比例する．すなわち、ワイヤーのねじり係数を κ {\displaystyle \kappa \,} とすると、トルクは κ θ {\displaystyle \kappa \theta \,} である。トルクは作用した力とワイヤーまでの距離の積として表すこともできる。実験設備には二組の大鉛球・小鉛球の対があるので、天秤の軸から距離 L/2 の両位置にかかる力をそれぞれ F とすると、トルクは LF である。トルクに関するそれら二つの式が等しいことから次式を得る。 κ θ = L F {\displaystyle \kappa \theta \ =LF} ニュートンの万有引力の法則により大鉛球と小鉛球の間に生じる力 F は次式で表される。 F = G m M r 2 {\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}} F を上記第一の式に代入すると、次式が得られる。 κ θ = L G m M r 2 ( 1 ) {\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)} ワイヤーのねじり係数 ( κ {\displaystyle \kappa } ) を得るために、キャヴェンディッシュは次式で表される定常状態でのねじり天秤の共振周期 T を測定した。 T = 2 π I / κ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I/\kappa }}} ねじり天秤自体の質量は無視できると仮定すると、天秤の慣性モーメントは小鉛球の質量のみから計算することにより、 I = m ( L / 2 ) 2 + m ( L / 2 ) 2 = 2 m ( L / 2 ) 2 = m L 2 / 2 {\displaystyle I=m(L/2)^{2}+m(L/2)^{2}=2m(L/2)^{2}=mL^{2}/2} , となり、さらに次式を得る。 T = 2 π m L 2 2 κ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}} この式を κ {\displaystyle \kappa } について解いて(1)式に代入し、G について整理すると次式を得る。 G = 2 π 2 L r 2 M T 2 θ {\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}}{MT^{2}}}\theta } 決定された G と、地表における物体が地球から受ける力を用いて、地球の質量 M earth {\displaystyle M_{\text{earth}}} と密度 ρ earth {\displaystyle \rho _{\text{earth}}} が次のように計算できる。 m g = G m M earth R earth 2 M earth = g R earth 2 G ρ earth = M earth 4 π R earth 3 / 3 = 3 g 4 π R earth G {\displaystyle {\begin{aligned}mg&={\frac {GmM_{\text{earth}}}{R_{\text{earth}}^{2}}}\\M_{\text{earth}}&={\frac {gR_{\text{earth}}^{2}}{G}}\\\rho _{\text{earth}}&={\frac {M_{\text{earth}}}{4\pi R_{\text{earth}}^{3}/3}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}G}}\end{aligned}}} 記号の定義 θ {\displaystyle \theta \,} radian {\displaystyle {\mbox{radian}}\,} ねじり天秤棒の自然静止位置からの変位角 F {\displaystyle F\,} N {\displaystyle {\mbox{N}}\,} 質量 M と m の間に働く引力 G {\displaystyle G\,} m 3 kg − 1 s − 2 {\displaystyle {\mbox{m}}^{3}{\mbox{kg}}^{-1}{\mbox{s}}^{-2}\,} 万有引力定数 m {\displaystyle m\,} kg {\displaystyle {\mbox{kg}}\,} 小鉛球の質量 M {\displaystyle M\,} kg {\displaystyle {\mbox{kg}}\,} 大鉛球の質量 r {\displaystyle r\,} m {\displaystyle {\mbox{m}}\,} 釣り合い時の大鉛球と小鉛球の中心間距離 L {\displaystyle L\,} m {\displaystyle {\mbox{m}}\,} ねじり天秤の小鉛球中心間の距離 κ {\displaystyle \kappa \,} N m radian − 1 {\displaystyle {\mbox{N}}\,{\mbox{m}}\,{\mbox{radian}}^{-1}\,} 吊り下げワイヤーのねじり係数 I {\displaystyle I\,} kg m 2 {\displaystyle {\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{2}\,} ねじり天秤の慣性モーメント T {\displaystyle T\,} s {\displaystyle {\mbox{s}}\,} ねじり天秤の振動周期 g {\displaystyle g\,} m s − 2 {\displaystyle {\mbox{m}}\,{\mbox{s}}^{-2}\,} 地表での重力加速度 M e a r t h {\displaystyle M_{earth}\,} kg {\displaystyle {\mbox{kg}}\,} 地球の質量 R e a r t h {\displaystyle R_{earth}\,} m {\displaystyle {\mbox{m}}\,} 地球の半径 ρ e a r t h {\displaystyle \rho _{earth}\,} kg m − 3 {\displaystyle {\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{-3}\,} 地球の密度
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