万有引力ポテンシャルの一般表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:49 UTC 版)
「マッカラーの公式」の記事における「万有引力ポテンシャルの一般表示」の解説
球面座標系で、ポテンシャルが作られる点 P {\displaystyle P} （位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } ）、ポテンシャルを作る点 P ′ {\displaystyle P'} （位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } ）の動径成分をそれぞれ r {\displaystyle r} 、 r ′ {\displaystyle r'} とする。座標の原点 O {\displaystyle O} は当面は任意としておく。ベクトル r {\displaystyle \mathbf {r} } と r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } が成す角を ψ {\displaystyle \psi } 、 P ′ {\displaystyle P'} での体積要素を d M ( r ′ ) {\displaystyle \mathrm {d} M(\mathbf {r'} )} 、物体Bの全質量を M {\displaystyle M} と書く。このとき、物体Bによって作られる万有引力ポテンシャルは一般的に V ( P ) = G ∫ M 1 ‖ r ′ − r ‖ d M ( r ′ ) {\displaystyle V(P)=G\int _{M}{\frac {1}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}\,\mathrm {d} M(\mathbf {r'} )} と書ける。ここで ‖ r ′ − r ‖ = r 1 − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 {\displaystyle \|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|=r{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}} で、 G {\displaystyle G} はニュートンの万有引力定数である。 − 1 ≤ x ≤ + 1 {\displaystyle -1\leq x\leq +1} のとき ( 1 + x ) − 1 / 2 = 1 − x / 2 + 3 x 2 / 8 + o ( x 3 ) {\displaystyle (1+x)^{-1/2}=1-x/2+3x^{2}/8+o(x^{3})} だから、 x = − 2 ( r ′ / r ) cos ψ + ( r ′ / r ) 2 {\displaystyle x=-2(r'/r)\cos \psi +(r'/r)^{2}} とおくと 1 1 − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 = 1 + r ′ r cos ψ − 1 2 ( r ′ r ) 2 + 3 2 ( r ′ r ) 2 cos 2 ψ + o [ ( r ′ r ) 3 ] {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]} よって、 r ‖ r ′ − r ‖ = 1 + r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 − 3 2 ( r ′ r ) 2 sin 2 ψ + … {\displaystyle {\frac {r}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}\psi +\dots } が得られる 。これより P {\displaystyle P} での万有引力ポテンシャルは次のようになる。 V ( P ) = G r ∫ M d M + G r 2 ∫ M r ′ cos ψ d M + G r 3 ∫ M r ′ 2 d M − 3 G 2 r 3 ∫ M r ′ 2 sin 2 ψ d M + … {\displaystyle V(P)={\frac {G}{r}}\int _{M}\mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{2}}}\int _{M}r'\cos \psi \mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\mathrm {d} M-{\frac {3G}{2r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \mathrm {d} M+\dots }
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