フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)
素数 p に対して、 x p + y p = z p {\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}} の左辺を、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 上で分解すると、 ( x + y ) ( x + ζ p y ) ⋯ ( x + ζ p p − 1 y ) = z p {\displaystyle (x+y)(x+\zeta _{p}y)\cdots (x+\zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}} となる。ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 p = 23 {\displaystyle p=23} のとき、それが成立しないことを示した。そのため、 p = 23 {\displaystyle p=23} (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。 クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。 クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。 素数 p は、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の類数を割り切らない。 正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。 クンマーの補題 素数 p が正則素数であれば、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε を、 ε ≡ a ( mod ( 1 − ζ p ) p ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon \equiv a\ (\operatorname {mod} \ (1-\zeta _{p})^{p})} となる有理整数 a が存在するようにとると、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε 0 {\displaystyle \textstyle \varepsilon _{0}} が存在して、 ε = ε 0 p {\displaystyle \textstyle \varepsilon =\varepsilon _{0}^{p}} と表される。 正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。
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フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 03:51 UTC 版)
ただし指数が十分大きい場合。どの程度大きければよいかは K(ε) に依存する。定理自体は、ABC予想とは独立にワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)。望月らは、フェルマーの最終定理の別証明を与えたとプレプリントで公表し、いくつかの誤りを認めた後2021年10月11日に別証明の達成を宣言した。
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フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 23:54 UTC 版)
「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」の記事における「フェルマーの最終定理」の解説
1637年に書き表されたフェルマーの最終定理は以下を満たす3つの自然数 a, b, c が存在しないことを述べている。 a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} ただし n は 3 以上の自然数である。
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