タルタリアの三角形とは? わかりやすく解説

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タルタリアの三角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/10 16:11 UTC 版)

ニコロ・フォンタナ・タルタリア」の記事における「タルタリアの三角形」の解説

二項係数を得るパスカルの三角形は、別名をタルタリアの三角形ともいう。 1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3} 4 + 5 + 6 = 7 + 8 {\displaystyle 4+5+6=7+8} 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 {\displaystyle 9+10+11+12=13+14+15} … と無限に続く足し算等式も同じ名で呼ばれる。上から n 段目の等式左端n2平方数)、中央は n(n + 1) (矩形数)である。n2 を n 個の n に、または n(n + 1) を n 個の n + 1分け左辺その他の項に加えれば右辺の項を得る。等式の値3, 15, 42,・・は n 番目の三角数(1から n までの和)の 2n + 1 倍、四角錐数(1から n までの自乗和)の3倍であり、奥行き、幅、高さが n, n + 1/2, n + 1直方体体積等しい。1段目から n 段目までの総和は、1から n までの立方和(n 番目の三角数自乗)の 1 + 2/n 倍であり、連続三角数の積である。 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 {\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}=13^{2}+14^{2}} 21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 + 27 2 {\displaystyle 21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}=25^{2}+26^{2}+27^{2}} … と無限に続く自乗和の等式も同じ名で呼ばれる。上から n 段目の等式は 2n 番目の(六角数でない)三角数から 2n + 1 個の連続数の自乗項を左辺で n + 1 個、右辺で n 個足したのである左端n2 と (2n + 1)2 の積であり、中央は 2n(n + 1) の自乗である。左端の (2n + 1)2 は等号挟んだ二項自乗前の和に等しいため、 n2 を1から 2n - 1 までの連続奇数和に変形して左辺その他の項に逆順分配すれば、右辺の各項に等しくなる。これを図形的に見れば左端平方数を表す一辺が n(2n + 1) の正方形長さが (2n + 1)2 、幅が n2長方形等積変形した上で幅が1, 3, 5,・・2n - 1 の長方形分割し、直角に折り曲げて左辺その他の項を表す正方形の2辺に付加して右辺正方形作ることに相当するまた、中央の 2n(n + 1) は n 番目の三角数の4倍であるため、自乗一方を4から 4n まで連続する4の倍数和に変形して左辺その他の項に逆順分配してもよい。これを図形的に見れば一辺が 2n(n + 1) の正方形を幅が1, 2, 3,・・n の長方形4個ずつ 4n 個に分割し左辺その他の項を表す正方形の4辺に付加して右辺正方形作ることに相当する。または長さ4n(n + 1), 幅が n(n + 1) の長方形等積変形した上で幅が2, 4, 6,・・2n の長方形分割し、直角に折り曲げてその他の正方形の2辺に付加する考えてもよい。等式の値25, 365, 2030,・・は n 番目の四角錐数の 12n(n + 1) + 1 倍であり、奥行き、幅、高さ等が n, n + 1/2 - 1/√6, n + 1/2, n + 1/2 + 1/√6, n + 15次元超直方体超体積の4倍に等しい。この値は1から n までの立方和16(n + 1/2) 倍と n 番目の四角錐数和に等しく、1から n までの4乗和(n 番目の四角錐数の {3n(n + 1) - 1}/5 倍)の20倍と n 番目の四角錐数の5倍の和に等しい。1段目から n 段目までの総和は、足し算三角形のそれの1/3(即ち1番目から n 番目までの四角錐数総和)の 8n(n + 2) + 1 倍である。 1 2 + 1 ∗ 3 = 2 2 {\displaystyle 1^{2}+1*3=2^{2}} 6 2 + 7 2 + 6 ∗ 10 = 8 2 + 9 2 {\displaystyle 6^{2}+7^{2}+6*10=8^{2}+9^{2}} 15 2 + 16 2 + 17 2 + 1521 = 18 2 + 19 2 + 20 2 {\displaystyle 15^{2}+16^{2}+17^{2}+15*21=18^{2}+19^{2}+20^{2}} … 上記のように自乗和の三角形から漏れた数にも、足し算三角形興味深い関係がある。即ち 2n - 1 番目の三角数(n 番目の六角数)から 2n 個の連続数の n 個ずつの自乗和の差は、足し算三角形の1段目から 2n - 1 段目までの総和等しく連続三角数の積である。例え62 + 7282 + 92 の差60足し算三角形の1段目から3段目までの総和等しく、 6 × 10 である。上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n2 + n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n4 + 104n3 + 31n2 - 51n - 4)/60 である。n 段目の連続三角数の積は等号の右の平方数足し算三角形の n 段目の左端平方数の差に等しいため、下記のようにも表現できる1 2 = 1 2 {\displaystyle 1^{2}=1^{2}} 6 2 + 7 2 = 2 2 + 9 2 {\displaystyle 6^{2}+7^{2}=2^{2}+9^{2}} 15 2 + 16 2 + 17 2 = 3 2 + 19 2 + 20 2 {\displaystyle 15^{2}+16^{2}+17^{2}=3^{2}+19^{2}+20^{2}} … または 1 2 = 2 2 {\displaystyle 1^{2}={\frac {2}{2}}} 6 2 + 7 2 = 8 2 + 9 2 {\displaystyle 6^{2}+7^{2}={\frac {8}{2}}+9^{2}} 15 2 + 16 2 + 17 2 = 18 2 + 19 2 + 20 2 {\displaystyle 15^{2}+16^{2}+17^{2}={\frac {18}{2}}+19^{2}+20^{2}} … 上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n2 - n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n4 + 56n3 - 41n2 - 39n + 14)/60 である。

※この「タルタリアの三角形」の解説は、「ニコロ・フォンタナ・タルタリア」の解説の一部です。
「タルタリアの三角形」を含む「ニコロ・フォンタナ・タルタリア」の記事については、「ニコロ・フォンタナ・タルタリア」の概要を参照ください。

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