リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/29 09:37 UTC 版)
数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環（リーかん）[注 1]は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。
注釈
出典
- ^ Humphreys 1972, p. 1.
- ^ Jacobson 1962, p. 28.
- ^ Jacobson 1962, p. 18.
- ^ Jacobson 1962, Ch. VI
- ^ Humphreys p. 2
- ^ Humphreys 1972, p. 22.
- ^ Beltita 2005, pg. 75
- ^ 随伴性は、Hofman & Morris (2007) (e.g., page 130) においてより一般的な文脈で議論されるが、例えば Bourbaki (1989) Theorem 1 of page 305 and Theorem 3 of page 310 からすぐ出る結果でもある。
リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/11 06:55 UTC 版)
特に、M の微分同相写像群のリー代数は M 上のすべてのベクトル場からなり、ベクトル場のリーブラケット（英語版）を備えている。幾分形式的に、これは空間の各点における座標 x に小さい変化を加えることによってわかる： x μ → x μ + ε h μ ( x ) {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)} L h = h μ ( x ) ∂ ∂ x μ . {\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}.}
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リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)
詳細は「リー代数の表現 」を参照 体 F 上のリー代数は、リーブラケットと呼ばれヤコビ恒等式を満たす歪対称双線型作用を持つベクトル空間である。特に、リー代数は、単位元でのリー群の接空間として発生し、「無限小対称性」として相互作用を導く リー代数の表現論の重要なアプローチは、リー代数の対応する表現論を研究するためであるが、リー代数の表現論は本質的に興味深いものを持っている。。 リー代数は、リー群のように、半単純な部分と可解な部分へと分解するレヴィ分解をもつが、一般には扱いにくい可解リー代数の表現がついて回る。これとは対蹠的に、半単純リー代数の有限次元表現はエリー・カルタンの仕事以来、完全に理解されている。半単純リー代数 g の表現は、その上ではリーブラケットが 0 となる（可換である）ような g の本質的に最大生成部分代数 h である、カルタン部分代数(Cartan subalgebra)を選択することにより解析される。g の表現は、h の作用の固有空間であるウェイト空間(weight spaces)と指標の無限小の類似へと分解することができる。したがって、半単純リー代数の構造は、ウェイトの発生可能な組み合わせを容易に理解するという表現の解析へと還元される。
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リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:21 UTC 版)
リー群の常として、ローレンツ群の多くの側面がそのリー代数により明らかにできる。ローレンツ群は R4 上の微分同相群の部分群であり、したがってそのリー代数は R4 上のベクトル場により明らかにされる。具体的には、空間に等長性を生成するベクトルはキリングベクトルであり、これがリー代数を計算する際に便利な左不変なベクトル場の代わりとなる。次の六つの生成子を書き下すことができる。 三つの回転 i J を生成する R4 上のベクトル場 − y ∂ x + x ∂ y ≡ i J z , − z ∂ y + y ∂ z ≡ i J x , − x ∂ z + z ∂ x ≡ i J y {\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}} 三つのブースト i K を生成する R4 上のベクトル場 x ∂ t + t ∂ x ≡ i K x , y ∂ t + t ∂ y ≡ i K y , z ∂ t + t ∂ z ≡ i K z {\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}} ここで、次のような一階線形偏微分作用素の形で書かれたベクトル場から1パラメータ群を得る方法について軽くおさらいしておこう。 − y ∂ x + x ∂ y {\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}} 対応する初期値問題は以下のようになる。 ∂ x ∂ λ = − y , ∂ y ∂ λ = x , x ( 0 ) = x 0 , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}} この解は次のように書ける。 x ( λ ) = x 0 cos ( λ ) − y 0 sin ( λ ) , y ( λ ) = x 0 sin ( λ ) + y 0 cos ( λ ) {\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )} または [ t x y z ] = [ 1 0 0 0 0 cos ( λ ) − sin ( λ ) 0 0 sin ( λ ) cos ( λ ) 0 0 0 0 1 ] [ t 0 x 0 y 0 z 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}t\\x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{matrix}}\right]} ここで、z 軸まわりの回転 exp(i λ Jz) の1パラメータ行列群をすぐにみてとることができる。群パラメータ λ で微分し λ=0 を代入すれば、次の行列が得られる。 i J z = [ 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle iJ_{z}=\left[{\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]} これが最初のベクトル場に対応する。このようにしてリー代数の要素の行列表現とベクトル場表現を対応づけることができる。 前節の手続を逆転させることにより、上の六つの生成子に対応するメビウス変換が次に示すパウリ行列にそれぞれ β/2 （回転の場合）および iθ/2 （ブーストの場合）をかけて指数関数をとったものになることがわかる。 σ 1 = [ 0 1 1 0 ] , σ 2 = [ 0 − i i 0 ] , σ 3 = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right],\;\;\sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}\right],\;\;\sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]} ここでの目的のためには、別の生成子がより便利である。下表その六つの生成子の一覧を挙げる。表の見方は、 最初の行は（リーマン球面から立体射影した後の）ユークリッド平面上の実ベクトル場としてのメビウス群の作用の下のフローの生成子を示す。 二行目は対応するメビウス変換の1パラメータ部分群を示す。 三行目は対応する（上の1パラメータ部分群を準同型写像でうつした）ローレンツ変換の1パラメータ部分群を示す。 四行目は対応するミンコフスキー時空上の実ベクトル場としてのローレンツ群の作用の下のフローの生成子を示す。 これらの生成子は次からなることに注意されたい。 二つの放物型（ヌル回転） 一つの双曲型（∂z 方向のブースト） 三つの楕円型（x,y,z 軸まわりの回転） R2 上のベクトル場SL(2, C) の部分群のメビウス変換表現SO+(1, 3) の1パラメータ部分群のローレンツ変換表現R4 上のベクトル場放物型 ∂ u {\displaystyle \partial _{u}\,\!} [ 1 α 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&\alpha \\0&1\end{matrix}}\right]} [ 1 + α 2 / 2 α 0 − α 2 / 2 α 1 0 − α 0 0 1 0 α 2 / 2 α 0 1 − α 2 / 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&\alpha &0&-\alpha ^{2}/2\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\\alpha ^{2}/2&\alpha &0&1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right]} X 1 = {\displaystyle X_{1}=\,\!} x ( ∂ t + ∂ z ) + ( t − z ) ∂ x {\displaystyle x(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{x}\,\!} ∂ v {\displaystyle \partial _{v}\,\!} [ 1 i α 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&i\alpha \\0&1\end{matrix}}\right]} [ 1 + α 2 / 2 0 α − α 2 / 2 0 1 0 0 α 0 1 − α α 2 / 2 0 α 1 − α 2 / 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&0&\alpha &-\alpha ^{2}/2\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\\alpha ^{2}/2&0&\alpha &1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right]} X 2 = {\displaystyle X_{2}=\,\!} y ( ∂ t + ∂ z ) + ( t − z ) ∂ y {\displaystyle y(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{y}\,\!} 双曲型 1 2 ( u ∂ u + v ∂ v ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)} [ exp ( β 2 ) 0 0 exp ( − β 2 ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {\beta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\beta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]} [ cosh ( β ) 0 0 sinh ( β ) 0 1 0 0 0 0 1 0 sinh ( β ) 0 0 cosh ( β ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cosh(\beta )&0&0&\sinh(\beta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\beta )&0&0&\cosh(\beta )\end{matrix}}\right]} X 3 = {\displaystyle X_{3}=\,\!} z ∂ t + t ∂ z {\displaystyle z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!} 楕円型 1 2 ( − v ∂ u + u ∂ v ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)} [ exp ( i θ 2 ) 0 0 exp ( − i θ 2 ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]} [ 1 0 0 0 0 cos ( θ ) − sin ( θ ) 0 0 sin ( θ ) cos ( θ ) 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]} X 4 = {\displaystyle X_{4}=\,\!} − y ∂ x + x ∂ y {\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\,\!} v 2 − u 2 − 1 2 ∂ u − u v ∂ v {\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}} [ cos ( θ 2 ) − sin ( θ 2 ) sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]} [ 1 0 0 0 0 cos ( θ ) 0 sin ( θ ) 0 0 1 0 0 − sin ( θ ) 0 cos ( θ ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]} X 5 = {\displaystyle X_{5}=\,\!} − x ∂ z + z ∂ x {\displaystyle -x\partial _{z}+z\partial _{x}\,\!} u v ∂ u + 1 − u 2 + v 2 2 ∂ v {\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}} [ cos ( θ 2 ) i sin ( θ 2 ) i sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]} [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos ( θ ) − sin ( θ ) 0 0 sin ( θ ) cos ( θ ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]} X 6 = {\displaystyle X_{6}=\,\!} − z ∂ y + y ∂ z {\displaystyle -z\partial _{y}+y\partial _{z}\,\!} この表の一列を検証してみよう。始めに、 σ 2 = [ 0 i − i 0 ] {\displaystyle \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&i\\-i&0\end{matrix}}\right]} を指数関数に入れて次を得る。 exp ( i θ 2 σ 2 ) = [ cos ( θ / 2 ) − sin ( θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) ] {\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)=\left[{\begin{matrix}\cos(\theta /2)&-\sin(\theta /2)\\\sin(\theta /2)&\cos(\theta /2)\end{matrix}}\right]} この SL(2, C) の要素は（楕円型）メビウス変換の1パラメータ部分群の表現である。 ξ ↦ cos ( θ / 2 ) ξ − sin ( θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) ξ + cos ( θ / 2 ) {\displaystyle \xi \mapsto {\frac {\cos(\theta /2)\,\xi -\sin(\theta /2)}{\sin(\theta /2)\,\xi +\cos(\theta /2)}}} さらに次を得る。 d ξ d θ | θ = 0 = − 1 + ξ 2 2 {\displaystyle \left.{\frac {d\xi }{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}} 対応する C 上のベクトル場（立体射影の下の S2 の像と考えることができる）は − 1 + ξ 2 2 ∂ ξ {\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }} ξ = u + i v {\displaystyle \xi =u+iv} と書くことにすると、これは R2 上のベクトル場となる。 − 1 + u 2 − v 2 2 ∂ u − u v ∂ v {\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}} SL(2, C) の要素に戻り、作用 X ↦ P X P ∗ {\displaystyle X\mapsto PXP^{*}} を書き出して項を集めると、スピノル写像の像は次の SO+(1, 3) の要素であることがわかる。 [ 1 0 0 0 0 cos ( θ ) 0 sin ( θ ) 0 0 1 0 0 − sin ( θ ) 0 cos ( θ ) ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]} θ で微分して θ=0 を代入すると、対応する R4 上のベクトル場が得られる。 z ∂ x − x ∂ z {\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}} これは明らかに y 軸まわりの反時計回り回転である。
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リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/06/21 06:46 UTC 版)
一般カルタン行列(generalized Cartan matrix)は、次を満たす整数の要素を持つ正方行列 である。 対角要素は、aii = 2 である。 非対角要素は、 である。 であることと は同値である。 A は DS と分解して書くことができる。ここに D は対角行列であり、S は対称行列である。 たとえば、G2（英語版）(G2)のカルタン行列は、次のように分解することができる。 3.の条件は独立ではないが、実際、1.と 4.の条件の結果である。 いつでも正の対角要素を持つ D を選ぶことができる。この場合、上記の分解の S が正定値であれば、A はカルタン行列であるといわれる。 単純リー代数のカルタン行列は、行列要素がスカラー積 であるような行列（ときおり、カルタン整数(Cartan integers)と呼ばれる）である。ここに ri は代数の単純ルート（英語版）(simple roots)である。要素は、ルートの性質のひとつより整数である。1 の条件は定義から従い、2 の条件は は rj に対し正の係数を持つ単純ルート ri と rj の線型結合であるルートであるので、ri の係数は非負となるはずである。3.の条件は、直交性は対称的な関係であるので、正しい。最後に、 であり とすると、単純ルートはユークリッド空間を張るので、S は正定値である。 逆に、一般カルタン行列が与えられると、対応するリー代数を再現することができる。（詳しくは、カッツ・ムーディ代数を参照。）
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リー代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/29 04:39 UTC 版)
一階微分作用素 Di をユークリッド空間上の無限小作用素（英語版）と考える。つまり、Di はある意味 xi 軸に平行な変換の 1-パラメータ群（英語版）を生成する。これらの群は互いに交換し、したがって無限小生成元もそうである。リーブラケット [ D i , D j ] = 0 {\displaystyle \left[D_{i},D_{j}\right]=0} はこの性質の反映である。言い換えると、別の座標に関する 1 つの座標のリー微分は 0 である。
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