代数上の表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 02:26 UTC 版)
L を超代数とすると、L の代数上の表現は、（結合的である必要はない）Z2 次数付き代数 A である。A はZ2 次数付きベクトル空間(graded vector space)上の L の表現であり、加えて、L の元は A 上に 微分（英語版）(derivation)/反微分（英語版）(antiderivation) として作用する。 さらに、特に H が L の純粋元であり、x と y が A の純粋元であれば、 H [ [ x y ] = ( H [ x ] ) y + ( − 1 ) x H x ( H [ y ] ) {\displaystyle H[[xy]=(H[x])y+(-1)^{xH}x(H[y])} である。また、A が単位的であれば、 H [ 1 ] = 0 {\displaystyle H[1]=0} である。 ところで、リー代数の表現に対し、単純に次数を (−1) を同じべきの因子へ写し、なくすることができる。 （超）リー代数はリー代数であり、それ自身の随伴表現を持っているので、随伴表現は代数の上の表現である。（反）微分の性質は、超（英語版）(super)ヤコビ恒等式である。 ベクトル空間が双方とも結合代数であり、リー代数であり、リー代数自身の上への随伴表現が代数上の表現（つまり結合代数上の微分が作用していると）であれば、このリー代数はポアソン代数（英語版）(Poisson algebra)である。超リー代数での類似の事実が、ポアソン超代数（英語版）(Poisson superalgebra)の考えをもたらす。
※この「代数上の表現」の解説は、「リー代数の表現」の解説の一部です。
「代数上の表現」を含む「リー代数の表現」の記事については、「リー代数の表現」の概要を参照ください。
- 代数上の表現のページへのリンク
