複素指数函数
複素指数函数（ふくそしすうかんすう、英: complex exponential function）とは、数学の複素解析における複素関数で、実関数としての自然指数関数 y = ex = exp(x)（e はネイピア数）を複素数全体に解析接続したものである[1]。
概説
- 明度は函数の絶対値を表す: 虚軸方向の変化に対して一定であり、実軸方向では右へ行く（引数の実部が大きい）ほど明るくなっているのが分かる。
- 色相は函数の偏角を表す: 実軸方向の変化に対して一定であり、虚軸方向では引数の虚部に対する周期性が色相の繰り返しパターンから読み取れる。
具体的には、複素指数函数は次の冪級数で与えられる：
exp(x + iy) の実部
exp(x + iy) の虚部
複素指数函数の定義の仕方は大まかに2通りある。
- 級数による定義[6]
- 任意の複素数 z に対して
exp(x + iy) の絶対値 
exp(x + iy) の偏角 x, y は実数として、z = x + yi = |z|earg z と書く。以下の性質は定義から直ちに確認できる:[2][7]
- y = 0 のとき明らかに exp(z) = exp(x) = ex は実指数函数であり、したがって複素指数函数は実指数函数の複素変数への拡張である。また特に exp(0) = e0 = 1 が成り立つ。
- 周期性: 任意の複素数 z に対して exp(z + 2πi) = exp(z) が成り立つ。すなわち、複素指数函数は周期（実は基本周期）2πi を持つ周期函数である。一般に任意の整数 n に対して exp(z + 2nπi) = exp(z) が成り立つ。この周期性のために、逆函数となるべき対数函数の複素数への拡張は無限多価となる。
- 絶対値に関して、|exp(z)| = |ex| および |exp(iy)| = 1 が成り立つ。すなわち、複素指数函数の絶対値は引数の実部のみによって決まり、引数の虚部の影響を受けない。また特に任意の z に対して exp(z) ≠ 0 が言える。
- 複素共役に関して、exp(z) = exp(z) が成り立つ。
- 指数法則：exp(z)⋅exp(w) = exp(z + w) が成り立つ。
- 複素指数函数はコーシー・リーマンの方程式を満たすから複素微分可能であって、d/dz exp(z) = exp(z) が成立する。
これらは三角函数の性質から導くこともできるし、級数による定義に対してコーシー積を直接計算しても示せる。あるいは実指数函数の対応する性質に解析接続の一般論を適用しても示せる。
出典
参考文献
- 高木貞治『解析概論』（改訂第三版）岩波書店、1983年9月27日。ASIN 4000051717。ISBN 978-4000051712。 NCID BN01222138。全国書誌番号:84009231。
- 木村俊房、高野恭一『関数論』朝倉書店〈新数学講座〉、1991年7月1日。ASIN 4254114370。ISBN 978-4254114379。 NCID BN06514414。OCLC 674317449。全国書誌番号:91062499。
- ニコラ・ブルバキ 著、小島順、村田全、加地紀臣男 訳『実一変数関数（基礎理論）1』東京図書〈数学原論〉、1968年。 NCID BN00929009。
- ニコラ・ブルバキ 著、笠原皓司、清水達雄 訳『位相3』東京図書〈数学原論〉、1968年。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Complex Exponentiation". mathworld.wolfram.com (英語).
- complex exponential function - PlanetMath.（英語）
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Exponential function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
