極小曲面

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極小曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/22 08:57 UTC 版)

数学または物理学において、極小曲面（きょくしょうきょくめん、英: minimal surface 、仏: surface minimale 、独: minimalfläche 、中: 極小曲面 ）とは局所的にその面積を最小化する曲面である。

これは平均曲率（英語: mean curvature）が零をもつことと同じである（以下の定義を見よ）。

解説

「極小曲面」の用語はこれら曲面が本来ある一定の面積を合計として最小にする曲面としてであるから用いられる。極小曲面の面積を最小化する物理的モデルは、石鹸膜（英語: soap film）が生じる、石鹸液に針金の枠を漬けることで作ることができる。それはその針金枠を境界とする極小曲面である。しかしながら、その用語は自己交差や制約されないより一般的な曲面についても用いられる。そこで与えられた制約条件は面積の異なる幾つかの極小曲面をも成り立たせる（例えば、回転極小曲面（英語: minimal surface of revolution） を見よ）：標準的な定義は局所的最適に関係するだけで、大域的最適ではない。

直観的には、或る極小曲面は、最小を充たす摂動の適用における変数のところのその面積または体積が与えられる曲面である。その極小曲面はつまり（十分小さくかつ十分限定された或る摂動の結果からみて長さが増加するしかないところの）測地線より高い次元において相似物として形成される。

定義

鞍型塔状極小曲面、その面積を増加させる曲面の任意の小さな変形のなかで、最も小さな合計面積をもつ同じ境界である曲面が存在する。

極小曲面は $\mathbb {R} ^{3}$

極小曲面の曲率平面。極小曲面では、主曲率の平面のうちの曲率は同じであり、すべての点で正負が逆である。これは主曲率が零であることを意味する。

平均曲率的定義（英: mean curvature definition）：曲面 $M\subset \mathbb {R} ^{3}$

木材と石膏が材料で、表面に曲線が施された仕上げの立体的数学模型の例である、レムニスケートを測地線として含む極小曲面の縮尺模型。.

1925年から1950年にかけて、極小曲面の理論は復活した、今では主に'非媒介変数表示極小曲面'（英: nonparametric minimal surface）が指向されている。ジェス・ダグラスとティボル・ラド（英語: Tibor Radó）によるプラトーの問題の完全な解決は主な金字塔である。ベルンシュテインの問題（英語: Bernstein's problem）と'有限総曲率'（英: finite total curvature ）の'完備極小曲面'（英: complete minimal surface）に関するロバート・オッサーマン（英語: Robert Osserman）の業績も重要である。

またの復活が1980年代に始まった。一つの契機は1982年のセルソ・コスタによるある曲面の発見である。これは、平面、懸垂面、螺旋面だけが有限な位相的な型の $\mathbb {R} ^{3}$

Mapleによる懸垂面の表示。

螺旋面。

懸垂面から螺旋面への、全点での等長な局所変換。

極小曲面の古典的な具体例は以下を含む：

• 自明な場合として、平面
• 懸垂面 （英語: catenoid）：懸垂線をその回転軸に1周して作られる極小曲面
• 螺旋面 （英語: helicoid ）：その直線に垂直なひとつの回転軸のまわりに一定の速度で回転しながら、一定の速度をもって回転軸に沿って同時に進む直線によって描かれる曲面

懸垂面と螺旋面は、一方から他方への連続変形があることを与えられるという特筆に価する性質を有する。その局所的な変形はすべての点において等長である。加えて、変形途中のすべての曲面は極小曲面である。これらについて、懸垂面を表す変数値0から螺旋面を表す変数値 ${\frac {\pi }{2}}$

コスタの極小曲面 （英語: Costa's Minimal Surface）

現代の曲面は以下を含む：

• ジャイロイド：液晶構造にとくに関係する三重曲面の、1970年以来のシェーンの曲面のひとつ。
• 鞍型塔状曲面 （英語: saddle tower ）の族：シェルクの第二曲面 （英語: Scherk surface#Scherk's second surface ）の一般化
• コスタの極小曲面 （英語: Costa's minimal surface ）：著名な未証明の定理。セルソ・コスタ （英語: Celso Costa）と後に視覚化したジェームズ・ホフマン （英語: James Hoffman ）による。ジェームズ・ホフマン、ダビド・ホフマンおよびウィリアム・ミークス3世はそのとき異なった回転対称をもつ曲面の族を導く定義を拡張した。
• エンネパー曲面に把手を付けた、チェン‐ガクスタッター曲面 （英語: Chen–Gackstatter surface ）の族

零でない一定のある曲率をもつ、球面は、用語の規定の意味において極小曲面ではない。それは別の極小の意味においてであることを確かめられる：それは一定の体積を内包して面積が極小である曲面である（等周定理の項を見よ）。

数学的性質

偏微分方程式

$\mathbb {R} ^{3}$

極小曲面に近似の、サーカスのテント。

テントのように、極小曲面による構造は用いられる。

極小曲面は現代のデザイナーによって用いられる生成的デザイン （英語: generative design ）の道具箱の一部である。建築においては、極小曲面に大いに関係する張力構造において多大な興味をもたれてきた。フライ・オットー、坂茂、ザハ・ハディッドの仕事において著名な事例がみられる。フライ・オットーによるミュンヘン・オリンピック競技場の計画は石鹸膜に着想を得ているさらにフライ・オットーによる別の著名な事例は、カナダのモントリオールの1967年万博でのドイツ館である。

美術界ではとりわけ、ロバート・エグマン （英語: Robert Engman ）（ 1927 - 2018 ）、ロバート・ロングハースト （英語: Robert Longhurst ）（ 1949 - ）、およびチャールズ・O.ペリー （英語: Charles O. Perry ）（ 1929 - 2011 ）の彫塑において、極小曲面は発展的に開花してきた。

毛細管現象

石鹸膜による懸垂面の実現。

ヘリカルフレーム上の石鹸膜によって形成されるヘリコイド極小曲面

或る場合、石鹸の膜によって私たちは或る極小曲面を造ることを得る。この場合、石鹸膜は、この曲面が働くことを促すものである、ポテンシャルエネルギーに従い極小になってゆく。より詳しくは、それはラプラス‐ヤング方程式に従う： $\Delta p=2\sigma \gamma \,$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年11月）

• Pierre-Gilles de Gennes ; Françoise Brochard-Wyart ; David Quéré (2002) (フランス語). Gouttes, bulles, perles et ondes. Échelles. Paris: Belin. ISBN 2701140552 
• Berger, Marcel (2003) (英語). A Panoramic View of Riemannian Geometry. Berlin: Springer Verlag. pp. xxiv + 824. ISBN 978-3-540-65317-2 
• Sylvestre Gallot; Dominique Hulin; Jacques Lafontaine (2004) (英語). Riemannian Geometry (3rd. ed.). Springer-Verlag - Universitext. ISBN 978-3-540-20493-0 

教科書

• R. Courant. Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y., 1950. xiii+330 pp.
• H. Blaine Lawson, Jr. Lectures on minimal submanifolds. Vol. I. Second edition. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 pp. ISBN 0-914098-18-7
• Robert Osserman. A survey of minimal surfaces. Second edition. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi+207 pp. ISBN 0-486-64998-9, MR 0852409
• Johannes C.C. Nitsche. Lectures on minimal surfaces. Vol. 1. Introduction, fundamentals, geometry and basic boundary value problems. Translated from the German by Jerry M. Feinberg. With a German foreword. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 pp. ISBN 0-521-24427-7
• Nishikawa, Seiki (2002). Variational problems in geometry. Translations of mathematical monographs; Iwanami series in modern mathematics. 205. Providence, R. I. : American Mathematical Society. ISBN 0821813560. ISSN 0065-9282, translated from: 
  • 西川青季『幾何学的変分問題』 28巻、岩波書店、東京〈岩波講座現代数学の基礎〉、1998(平成10)-01。 ISBN 4-00-010642-2。 1998年
• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, and Friedrich Sauvigny. Minimal surfaces. Revised and enlarged second edition. With assistance and contributions by A. Küster and R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 pp. ISBN 978-3-642-11697-1, doi:10.1007/978-3-642-11698-8 , MR 2566897
• Tobias Holck Colding and William P. Minicozzi, II. A course in minimal surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8

オンライン文献

• Karcher (1995年). “Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces”. 2006年12月27日閲覧。 (graphical introduction to minimal surfaces and soap films.)
• Jacek Klinowski. “Periodic Minimal Surfaces Gallery”. 2009年2月2日閲覧。 (A collection of minimal surfaces with classical and modern examples)
• Martin Steffens and Christian Teitzel. “Grape Minimal Surface Library”. 2008年10月27日閲覧。 (A collection of minimal surfaces)
• Various (2000年). “EG-Models”. 2004年9月28日閲覧。 (Online journal with several published models of minimal surfaces)

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Minimal surface”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/m063920.htm 
• 3D-XplorMath-J Homepage — Java program and applets for interactive mathematical visualisation
• Gallery of rotatable minimal surfaces
• WebGL-based Gallery of rotatable/zoomable minimal surfaces