多様体間の調和写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/18 02:16 UTC 版)
詳細は「調和写像（英語版）」を参照 ふたつのリーマン多様体 M, N に対し、調和写像 u: M → N は、一般化ディリクレエネルギー汎函数 D [ u ] = 1 2 ∫ M ‖ d u ‖ 2 d V {\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\|du\|^{2}\,dV} の臨界点として定義される。ここで du: TM → TN は u の微分であり、ノルムは M および N の距離から誘導されるテンソル積束 T*M ⊗ u−1 TN 上のノルムである。 上述のように、これに特別の場合として調和函数が含まれることはディリクレの原理に他ならない。 多様体間の調和写像の特別の場合として重要なものに極小曲面（英語版）がある。これは曲面の三次元ユークリッド空間への調和はめ込み (harmonic immersion) に一致する（より一般に、極小部分多様体は多様体から別の多様体への調和はめ込みになる）。調和座標系（英語版） とは、多様体から同じ次元のユークリッド空間の開部分集合への調和微分同相写像のことである。
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