多様体間の写像の微分可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)
「可微分多様体」の記事における「多様体間の写像の微分可能性」の解説
M と N を次元がそれぞれ m と n の可微分多様体とし、f を M から N への写像とする。可微分多様体は位相空間であるから f が連続であるとはどういう意味かを知っている。しかし k ≥ 1 に対して「f は Ck(M, N) である」とはどういう意味であろうか？f がユークリッド空間の間の関数のときにはそれがどういう意味か知っているので、 f を M のチャートと N のチャートと合成してユークリッド空間から M へ行き N へ行きユークリッド空間へ行く写像を得ると、その写像が Ck(Rm, Rn) であるということの意味を知っている。「f は Ck(M, N) である」ということを f のチャートとのすべてのそのような合成が Ck(Rm, Rn) であるいうことだと定義する。再びチェーンルールにより微分可能性のアイデアが M と N のアトラスのどのチャートが選ばれたかに依らないことが保証される。しかしながら、微分そのものの定義はより微妙である。M あるいは N がそれ自身既にユークリッド空間であれば、それをユークリッド空間に写すチャートは必要ない。
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