CAPMの導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 04:08 UTC 版)
「資本資産価格モデル」の記事における「CAPMの導出」の解説
CAPMの導出について述べる。以下の記述は池田 & (2000)とDybvig and Ross & (2003)に基づく。まずCAPMが成立する為に必要な仮定として以下の4点があげられる。 全ての投資家は平均分散分析によりポートフォリオを選択する。 全ての投資家は全ての金融資産の収益率の平均と分散について同一の予想を持つ。 金融市場が完全市場である。 無リスク資産が存在する。 第一の仮定が成立する為には全ての金融資産の収益率の同時分布が正規分布であるか、もしくは全ての投資家の期待効用関数が2次関数の形式を取っているかのいずれかと全ての投資家がリスク回避的であることが成り立たねばならない。 ここで金融市場には n {\displaystyle n} 個のリスク資産と利子率 r f {\displaystyle r_{\mathrm {f} }} の無リスク資産、そして J {\displaystyle J} 人の投資家が存在するとしよう。任意のリスク資産 i {\displaystyle i} についてその収益率を R i {\displaystyle R_{i}} とすると、第 j {\displaystyle j} 投資家の期待効用を最大化する平均分散的に効率的なリスク資産への投資比率ポートフォリオ ϕ i j , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i}^{j},i=1,\dots ,n} は次の連立方程式の解となる。 E [ R i ] − r f = λ j ( C o v ( R 1 , R i ) ϕ 1 j + ⋯ + C o v ( R n , R i ) ϕ n j ) = λ j ∑ k = 1 n C o v ( R k , R i ) ϕ k j , i = 1 , … , n {\displaystyle E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }=\lambda ^{j}{\Big (}\mathrm {Cov} (R_{1},R_{i})\phi _{1}^{j}+\cdots +\mathrm {Cov} (R_{n},R_{i})\phi _{n}^{j}{\Big )}=\lambda ^{j}\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{k},R_{i})\phi _{k}^{j},\quad i=1,\dots ,n} ここで λ j {\displaystyle \lambda ^{j}} は0ではない各投資家に固有の係数である。リスク資産 i {\displaystyle i} の時価総額を V i {\displaystyle V_{i}} とし、投資家 j {\displaystyle j} の初期資産を W j {\displaystyle W^{j}} とすれば、需給一致の条件から V i = ∑ j = 1 J W j ϕ i j , i = 1 , … , n {\displaystyle V_{i}=\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{i}^{j},\quad i=1,\dots ,n} となる。よって金融市場の全てのリスク資産の時価総額加重平均ポートフォリオは ϕ i m = V i ∑ l = 1 n V l = ∑ j = 1 J W j ϕ i j ∑ l = 1 n ∑ j = 1 J W j ϕ l j , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i}^{\mathrm {m} }={\frac {V_{i}}{\sum _{l=1}^{n}V_{l}}}={\frac {\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{i}^{j}}{\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{l}^{j}}},\quad i=1,\dots ,n} と表せる。よって任意の i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} について ∑ k = 1 n C o v ( R k , R i ) ϕ k m = ∑ j = 1 J W j ∑ k = 1 n C o v ( R k , R i ) ϕ k j ∑ l = 1 n ∑ j = 1 J W j ϕ l j = ∑ j = 1 J W j / λ j ∑ l = 1 n ∑ j = 1 J W j ϕ l j ( E [ R i ] − r f ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{k},R_{i})\phi _{k}^{\mathrm {m} }={\frac {\sum _{j=1}^{J}W^{j}\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{k},R_{i})\phi _{k}^{j}}{\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{l}^{j}}}={\frac {\sum _{j=1}^{J}W^{j}/\lambda ^{j}}{\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{l}^{j}}}{\Big (}E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}} となる。つまり任意の i {\displaystyle i} について E [ R i ] − r f = λ m ∑ k = 1 n C o v ( R k , R i ) ϕ k m = λ m C o v ( R m , R i ) {\displaystyle E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }=\lambda ^{\mathrm {m} }\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{k},R_{i})\phi _{k}^{\mathrm {m} }=\lambda ^{\mathrm {m} }\mathrm {Cov} (R_{\mathrm {m} },R_{i})} が成り立つ。ただし λ m = ∑ l = 1 n ∑ j = 1 J W j ϕ l j ∑ j = 1 J W j / λ j {\displaystyle \lambda ^{\mathrm {m} }={\frac {\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{l}^{j}}{\sum _{j=1}^{J}W^{j}/\lambda ^{j}}}} である。ここでマーケットリスクプレミアムは E [ R m ] − r f = ∑ i = 1 n ( E [ R i ] − r f ) ϕ i m = λ m ∑ i = 1 n C o v ( R m , R i ) ϕ i m = λ m V a r ( R m ) {\displaystyle E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}\phi _{i}^{\mathrm {m} }=\lambda ^{\mathrm {m} }\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Cov} (R_{\mathrm {m} },R_{i})\phi _{i}^{\mathrm {m} }=\lambda ^{\mathrm {m} }\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })} となる。よって λ m = E [ R m ] − r f V a r ( R m ) {\displaystyle \lambda ^{\mathrm {m} }={\frac {E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}} となる。したがって任意の i {\displaystyle i} について E [ R i ] − r f = C o v ( R i , R m ) V a r ( R m ) ( E [ R m ] − r f ) = β i m ( E [ R m ] − r f ) {\displaystyle E[R_{i}]-r_{\mathrm {f} }={\frac {\mathrm {Cov} (R_{i},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}=\beta _{i\mathrm {m} }{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}} が成立する。この式はまさしくCAPMである。
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