Big Five以外の体系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 13:45 UTC 版)
「逆数学」の記事における「Big Five以外の体系」の解説
逆数学においては、Big Five以外の体系も研究されている。それらはAfter Fiveとも呼ばれる。 再帰的内包公理よりも弱い体系が定義できる。 RCA 0 ∗ {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}^{\ast }\,} は、初等関数算術EFA(指数関数を含む算術の基本公理 + Δ 0 0 {\displaystyle \Delta _{0}^{0}\,} 帰納法)に Δ 1 0 {\displaystyle \Delta _{1}^{0}\,} 内包公理を付け加えた体系である。 RCA 0 ∗ {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}^{\ast }\,} 上で、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} は、可算な体の上で多項式が高々有限の根しかもたないことや、有限アーベル群の分類定理などと同値である。 RCA 0 ∗ {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}^{\ast }\,} は EFA {\displaystyle {\mbox{EFA}}\,} と同じ証明論的順序数 ω 3 {\displaystyle \omega ^{3}\,} をもち、 EFA {\displaystyle {\mbox{EFA}}\,} 上 Π 2 0 {\displaystyle \Pi _{2}^{0}\,} 文について保存的な拡大になっている。 WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} に弱弱ケーニッヒの補題「無限路を持たない無限2進木のある部分木は、長さ n {\displaystyle n\,} の葉がどれだけ存在するかを一様に推定できる」（無限路を持たない二分木の長さ n の枝の本数と 2 n {\displaystyle 2^{n}} の比は n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } でゼロに収束する）を追加した公理系である。 WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} 上で「任意のコンパクト距離空間における任意のボレル測度は可算加法的である」等の測度論の定理と同値になる。 WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} のモデル理論は、アルゴリズム的ランダム列の理論と関連する。実際、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} の ω {\displaystyle \omega \,} -モデル M {\displaystyle M\,} に対し, M {\displaystyle M\,} が WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} のモデルであることと, M {\displaystyle M\,} に含まれる任意の集合 X {\displaystyle X\,} について、 X {\displaystyle X\,} に対し相対的に1-randomなある Y {\displaystyle Y\,} が存在して Y {\displaystyle Y\,} が M {\displaystyle M\,} に含まれることは同値である。 DNR("diagonally non-recursive"の略)は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} に「任意の集合に対し対角的非再帰な関数が存在する」を追加した公理系である。 DNR {\displaystyle {\mbox{DNR}}\,} とはつまり「任意の集合 A {\displaystyle A\,} に対して、ある全域的関数 f {\displaystyle f\,} が存在して、fは A {\displaystyle A\,} から計算可能などんな部分関数とも等しくない」が成り立つということである。 DNR {\displaystyle {\mbox{DNR}}\,} は、 WWKL 0 {\displaystyle {\mbox{WWKL}}_{0}\,} よりも真に弱い。(Lempp et al., 2004). 「超算術的な集合全体からなる構造の上で成り立つ」「極小 ω {\displaystyle \omega \,} モデルは超算術的な集合全体である」という性質を満たす公理系はTheory of hyperarithmetic analysisと呼ばれる。 Theory of hyperarithmetic analysisの例として、 weak- Σ 1 1 -AC 0 {\displaystyle {\mbox{weak-}}\Sigma _{1}^{1}{\mbox{-AC}}_{0}\,} 、 Δ 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Delta _{1}^{1}{\mbox{-CA}}_{0}\,} 、 Π 1 1 -SEP 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-SEP}}_{0}\,} 、 Σ 1 1 -AC 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mbox{-AC}}_{0}\,} はTheory of hyperarithmetic analysisがあり、それぞれ ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} に弱 Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\,} 選択公理、 Δ 1 1 {\displaystyle \Delta _{1}^{1}\,} 内包公理、 Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 分離公理、 Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\,} 選択公理を追加した公理系である。
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