高階の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 10:12 UTC 版)
独立変数 x に関する一変数関数 y = f(x) の2階の微分は以下の様に表される d 2 y = d ( d y ) = d ( f ′ ( x ) d x ) = f ″ ( x ) ( d x ) 2 {\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2}} より高階の場合について一般化すると、 d n y = f ( n ) ( x ) ( d x ) n {\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}} これは以下の形に書くことにより、高階導関数のライプニッツ表記に合致するものである。 f ( n ) ( x ) = d n f d x n . {\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.} 変数 x 自体が他の変数に依存する関数である時は、 x の高階の微分も式に含まれるため、上記よりも複雑な形となる。2階、3階の場合の例を挙げる。 d 2 y = f ″ ( x ) ( d x ) 2 + f ′ ( x ) d 2 x d 3 y = f ‴ ( x ) ( d x ) 3 + 3 f ″ ( x ) d x d 2 x + f ′ ( x ) d 3 x {\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}} 多変数関数についても同様に高階の微分を考えることが出来る。例えば、f が変数 x と y の2変数関数である時、 d n f = ∑ k = 0 n ( n k ) ∂ n f ∂ x k ∂ y n − k ( d x ) k ( d y ) n − k , {\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},} ここで ( n k ) {\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{k}}} は二項係数である。より一般の多変数の場合にも、多項係数を用いて拡張することにより同様の式に表すことが出来る。 多変数関数の場合も、変数が他の変数に依存する場合は高階の微分がより複雑な形となる。f が変数 x と y の2変数関数であり、かつ x と y がそれぞれ他の補助変数に依存する関数である時、f の2階の微分は以下の様になる。 d 2 f = ( ∂ 2 f ∂ x 2 ( d x ) 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y d x d y + ∂ 2 f ∂ y 2 ( d y ) 2 ) + ∂ f ∂ x d 2 x + ∂ f ∂ y d 2 y . {\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.} より一般的には、x の関数f の増分Δx に対するn 階の微分は、以下の様に定義される。 d n f ( x , Δ x ) = d n d t n f ( x + t Δ x ) | t = 0 {\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}} もしくは等価な表現として、 lim t → 0 Δ t Δ x n f t n {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}} ここで Δ t Δ x n f {\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f} は、増分tΔx に対するn 階の前進差分演算子である。f が多変数関数の場合にもx を引数ベクトルと見なすことにより同様の形でf の微分を定義出来る。すると定義により、n 階の微分はベクトルx の増分Δx に関する斉次関数となる。さらに、f の点x におけるテーラー展開が以下の式で与えられる。 f ( x + Δ x ) ∼ f ( x ) + d f ( x , Δ x ) + 1 2 d 2 f ( x , Δ x ) + ⋯ + 1 n ! d n f ( x , Δ x ) + ⋯ {\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots } 高階のガトー微分はこれを無限次元関数空間に拡張したものと考えることが出来る。
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