連接層の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 05:01 UTC 版)
ネータースキーム X 上では、構造層 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} は環の連接層である。 環付き空間 X {\displaystyle X} 上の O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が局所自由(locally free)とは、各々の点 p ∈ X {\displaystyle p\in X} に対し、 p {\displaystyle p} の開近傍 U {\displaystyle U} が存在し、 F | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}} が O X | U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}} -加群として自由である場合をいう。このことは、 p {\displaystyle p} での F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の茎 F p {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}} が、すべての p {\displaystyle p} に対し、 ( O X ) p {\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X})_{p}} -加群として自由であることを意味する。もし F {\displaystyle {\mathcal {F}}} も連接であれば、逆も正しい。 F p {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}} がすべての p ∈ X {\displaystyle p\in X} に対し有限ランク n {\displaystyle n} であれば、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} はランク n {\displaystyle n} であると言う。 X = Spec ( R ) {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)} とすると、R はネーター環である。すると、R 上の有限生成射影加群（英語版）(finitely generated projective module)は局所自由 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群とみることができる。（R が次数付き環のときは、Proj構成（英語版）(Proj construction)も参照。） 岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である 。 ベクトルバンドルの切断の層（スキーム上、もしくは、複素解析空間の上の）は連接層である。 イデアル層：Z が複素解析空間 X の閉複素部分空間であれば、Z でゼロとなるすべての正則函数の層 IZ/X は連接層である。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる代数多様体の射(regular functions)の層は連接層である。 X の閉部分スキームや閉解析的部分空間 Z の構造層 OZ は X 上の連接層である。層 OZ は開集合 X - Z の中の点では（以下に定義する）ファイバー次元がゼロに等しく、Z の中の点では 1 に等しい。
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