連接対象
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/26 15:08 UTC 版)
C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} をグロタンディーク圏とする。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 A {\displaystyle A} は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。 ⋃ i ∈ I A i = A {\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A} なる A {\displaystyle A} の増大フィルターのすべての族 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} に対して、 A i = A {\displaystyle A_{i}=A} となる添え字 j {\displaystyle j} が存在する。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の対象 A {\displaystyle A} は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 f : B → A {\displaystyle f:B\rightarrow A} 、ただし B {\displaystyle B} は有限型、に対して ker ( f ) {\displaystyle \ker(f)} は有限型である。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を生成元として対象 G {\displaystyle G} を持つグロタンディーク圏とし 0 ⟶ A ′ ⟶ A ⟶ A ′ ′ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0} を C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 A {\displaystyle A} が有限型であるのは、完全列 ∐ i ∈ J G i ⟶ A ⟶ 0 {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0} ただし J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 A {\displaystyle A} が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 ∐ i ∈ J G i ⟶ A {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A} 、ただし J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} は有限、に対して完全列 ∐ i ∈ K G i ⟶ ∐ i ∈ J G i ⟶ A ⟶ 0 {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0} ただし K ⊂ I {\displaystyle K\subset I} は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。 すべての連接対象からなる C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の充満部分圏は、 C o h C {\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}} と表記されるが、アーベルであり、入射 C o h C ⟶ C {\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}} は完全である。
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