速度の発散が 0 になることの導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/18 02:33 UTC 版)
「非圧縮性流れ」の記事における「速度の発散が 0 になることの導出」の解説
非圧縮性流れのための基本的な要件は、密度ρが、速度v で移動する流体の微小体積dV 内で一定であることである。数学的にはこの非圧縮性流れの条件は、密度の物質微分（後述）が 0 にならなければならないことを意味する。この条件を導入する前に、質量保存則から必要な関係式を導く。ある領域（コントロールボリューム）V の中にある流体の質量m は、密度ρの体積積分によって計算される。 m = ∭ V ρ d V {\displaystyle m=\iiint _{V}\rho \,dV} 質量保存則より、コントロールボリュームV 内の質量の時間変化はその境界面S を通る質量流束J に等しくなければならない。この質量流速は数学的には面積分で表される。 ∂ m ∂ t = − ∬ S ⊂ ⊃ J ⋅ d S {\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}=-\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset {\boldsymbol {J}}\cdot d{\boldsymbol {S}}} ここで負号は、面積ベクトルdS を外向きに定義していることより、コントロールボリュームから出る流れによってボリューム内の質量は時間的に減少することを意味する。この式の右辺に発散定理を用い、質量流束と密度の時間変化の間の関係が導かれる。 ∭ V ∂ ρ ∂ t d V = − ∭ V div J d V ∴ ∂ ρ ∂ t = − div J {\displaystyle {\begin{aligned}&\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dV=-\iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\,dV\\&\therefore \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\end{aligned}}} 左辺の密度の時間微分は非圧縮性流れを保証するためには 0 になる必要はない。この場合の密度の時間微分とは、固定位置の コントロールボリューム内でのこの変化率のことを言っている。密度の時間微分が 0 にならないことを許しても、非圧縮性流体は制限されない。なぜなら固定位置のコントロールボリュームを観察していれば、流れによってそこの密度は変化する ことが許されているからである。このアプローチは一般的に言え、密度の時間微分が 0 になってもよいことは、圧縮性流体が依然として非圧縮性流れになりうることを示している。 我々が興味を持っていることは、流体速度v とともに移動するコントロールボリュームの密度の変化である。流束J は、次の式で流体速度v と関連している： J = ρ v {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\rho {\boldsymbol {v}}} したがって質量保存則は ∂ ρ ∂ t + div ( ρ v ) ≡ ∂ ρ ∂ t + grad ρ ⋅ v + ρ ( div v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})\equiv {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}+\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})=0} と表される。この式は連続の式と呼ばれている。密度の全微分を考える（そして連鎖律を適用する）ことにより、 d ρ d t = ∂ ρ ∂ t + ∂ ρ ∂ x d x d t + ∂ ρ ∂ y d y d t + ∂ ρ ∂ z d z d t {\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}} であるから、流体と同じ速度で動いている（すなわちv = (dx /dt , dy /dt , dz /dt ) となる）コントロールボリュームをとれば、上式は物質微分： D ρ D t := ∂ ρ ∂ t + grad ρ ⋅ v {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}:={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}} を用いて簡潔に表される。連続の式に代入すれば、 D ρ D t = − ρ ( div v ) {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})} を得る。密度の時間微分は、流体が圧縮または膨張（一定体積dV に含まれる質量が変化）することを示しているが、それは禁止されている。密度の物質微分が 0 になることを要求することは、（密度が 0 でなければ）流体速度の発散が 0 でなければならないことと等価である。 div v = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {v}}=0} 結局、質量保存則と、流体とともに移動する体積内の密度が一定であるという制約条件から、それに等価な非圧縮性流れの必要条件は流体速度の発散が 0 になることであることが示された。
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