速度の発散が 0 になることの導出とは? わかりやすく解説

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速度の発散が 0 になることの導出

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/18 02:33 UTC 版)

非圧縮性流れ」の記事における「速度の発散が 0 になることの導出」の解説

非圧縮性流れのための基本的な要件は、密度ρが、速度v で移動する流体微小体積dV 内で一定であることである。数学的にはこの非圧縮性流れ条件は、密度物質微分後述)が 0 にならなければならないことを意味する。この条件導入する前に質量保存則から必要な関係式を導く。ある領域コントロールボリューム)V の中にある流体質量m は、密度ρの体積積分によって計算される。 m = ∭ V ρ d V {\displaystyle m=\iiint _{V}\rho \,dV} 質量保存則より、コントロールボリュームV 内の質量時間変化はその境界面S を通る質量流束J に等しくなければならない。この質量流速数学的に面積分表される。 ∂ m ∂ t = − ∬ S ⊂ ⊃ J ⋅ d S {\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}=-\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset {\boldsymbol {J}}\cdot d{\boldsymbol {S}}} ここで負号は、面積ベクトルdS外向き定義していることよりコントロールボリュームから出る流れによってボリューム内の質量時間的に減少することを意味する。この式の右辺発散定理用い質量流束密度時間変化の間の関係が導かれる。 ∭ V ∂ ρ ∂ t d V = − ∭ V divJ d V ∴ ∂ ρ ∂ t = − div ⁡ J {\displaystyle {\begin{aligned}&\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dV=-\iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\,dV\\&\therefore \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}\end{aligned}}} 左辺密度時間微分非圧縮性流れ保証するためには 0 になる必要はない。この場合密度時間微分とは、固定位置コントロールボリューム内でのこの変化率のことを言っている。密度時間微分が 0 にならないことを許しても、非圧縮性流体制限されない。なぜなら固定位置コントロールボリューム観察していれば、流れによってそこの密度変化する ことが許されいるからである。このアプローチ一般的に言え密度時間微分が 0 になってもよいことは、圧縮性流体依然として非圧縮性流れになりうることを示している。 我々が興味持っていることは、流体速度v とともに移動するコントロールボリューム密度変化である。流束J は、次の式で流体速度v と関連している: J = ρ v {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\rho {\boldsymbol {v}}} したがって質量保存則は ∂ ρ ∂ t + div ⁡ ( ρ v ) ≡ ∂ ρ ∂ t + grad ⁡ ρ ⋅ v + ρ ( div ⁡ v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})\equiv {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}+\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})=0} と表される。この式は連続の式呼ばれている。密度全微分考える(そして連鎖律適用する)ことにより、 d ρ d t = ∂ ρ ∂ t + ∂ ρ ∂ x d x d t + ∂ ρ ∂ y d y d t + ∂ ρ ∂ z d z d t {\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \rho }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}} であるから流体と同じ速度動いている(すなわちv = (dx /dt , dy /dt , dz /dt ) となる)コントロールボリュームをとれば、上式は物質微分: D ρ D t := ∂ ρ ∂ t + grad ⁡ ρ ⋅ v {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}:={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}} を用いて簡潔に表される連続の式代入すれば、 D ρ D t = − ρ ( div ⁡ v ) {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})} を得る。密度時間微分は、流体圧縮または膨張一定体積dV含まれる質量変化)することを示しているが、それは禁止されている。密度物質微分が 0 になることを要求することは、(密度が 0 でなければ流体速度発散が 0 でなければならないことと等価である。 div ⁡ v = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {v}}=0} 結局質量保存則と、流体とともに移動する体積内の密度一定であるという制約条件から、それに等価非圧縮性流れ必要条件流体速度発散が 0 になることであることが示された。

※この「速度の発散が 0 になることの導出」の解説は、「非圧縮性流れ」の解説の一部です。
「速度の発散が 0 になることの導出」を含む「非圧縮性流れ」の記事については、「非圧縮性流れ」の概要を参照ください。

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