速度の合成則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
観測者 A、B が慣性運動しており、さらに質点 C が運動しているとする（慣性運動とは限らない）。 観測者 A の座標系を (ct, x, y, z) とし、観測者 B の座標系を (ct′, x′, y′, z′) とし、A から見た B の相対速度の大きさを V とし、 γ = 1 / 1 − ( V / c ) 2 {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}} をローレンツ因子とする。 必要ならミンコフスキー空間の原点を取り替えることで C は原点を通っているとしてよく、さらに C の運動方向は y軸、z軸と直交しているとし、y'軸、z'軸がy軸、z軸と一致しているとしても一般性を失わない。 観測者 A、B から見た C の速度をそれぞれ (vx,vy,vz)、(v′x,v′y,v′z) とするとき、B の座標系から A の座標系への速度変換則は、ローレンツ変換の(L4)式より以下のようになる： ( v x ′ , v y ′ , v z ′ ) = c ( d x ′ , d y ′ , d z ′ ) c d t ′ = c ( γ ( d x − v d t ) , d y , d z ) γ ( c d t + ( v / c ) d x ) = ( v x − V , v y / γ , v z / γ ) 1 + V v x / c 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}(v'_{x},v'_{y},v'_{z})&={\frac {c(\mathrm {d} x',\mathrm {d} y',\mathrm {d} z')}{c\mathrm {d} t'}}\\&={\frac {c(\gamma (\mathrm {d} x-v\mathrm {d} t),\mathrm {d} y,\mathrm {d} z)}{\gamma (c\mathrm {d} t+(v/c)\mathrm {d} x)}}\\&={\frac {(v_{x}-V,v_{y}/\gamma ,v_{z}/\gamma )}{1+Vv_{x}/c^{2}}}.\end{aligned}}}
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