自明な解と非自明な解とは? わかりやすく解説

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自明な解と非自明な解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/12/07 07:14 UTC 版)

自明性 (数学)」の記事における「自明な解と非自明な解」の解説

数学において、用語自明な対象例えば群や位相空間であって非常に単純な構造を持つものに対して頻繁に使われる非数学者にとって、それらは他のより複雑な対象よりも視覚化したり理解したりするのが難しことがある[要出典]。 次のような例がある: 空集合: 元を全く持たない集合 自明群単位元しか持たない数学の群 自明環シングルトン定義された環。 自明なは非常に単純な構造を持つ方程式の解記述するためにも使うことができるが、完全なものにするために省くことはできない。これらの解は自明な解 (trivial solution) と呼ばれる例えば、微分方程式 y ′ = y {\displaystyle y'=y} を考えよう。ここで y = f(x)関数であってその導関数は y′ である。自明な解は y = 0、関数英語版) であり、一方非自明な (nontrivial) 解(の 1 つ)は y (x) = ex指数関数 である。 境界条件 f ( 0 ) = f ( L ) = 0 {\displaystyle f(0)=f(L)=0} をつけた微分方程式 f ″ ( x ) = − λ f ( x ) {\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)} は数学物理において重要である。例え量子力学において箱の中の粒子記述したり、弦上の定常波記述したりするときに現れる。それはいつも解 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} を持つ。この解は明らかと考え"自明な"解と呼ぶ。ある場合には、他の解(正弦波)があり、"非自明な"解と呼ばれる同様に数学者フェルマーの最終定理次のように主張するものとしてしばしば記述する。n が 2 よりも大きいとき、方程式 a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} には非自明な整数解が存在しない明らかに方程式の解存在する例えば、 a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} は任意の n に対して解であるが、そのような解はすべて明らかであり興味がなく、したがって自明」である。

※この「自明な解と非自明な解」の解説は、「自明性 (数学)」の解説の一部です。
「自明な解と非自明な解」を含む「自明性 (数学)」の記事については、「自明性 (数学)」の概要を参照ください。

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