空間同士の関係と空間の性質

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空間同士の関係と空間の性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

「空間 (数学)」の記事における「空間同士の関係と空間の性質」の解説

（連続性、収斂、開集合、閉集合などといった）位相的概念は任意のユークリッド空間で自然に定義される。すなわち、任意のユークリッド空間は位相空間である。二つのユークリッド空間の間の同型は、対応する位相空間の間の同型（つまり同相）でもあるが、逆は正しくない。すなわち、距離を歪める同相写像が存在しうる。ブルバキの語法では、「位相空間」は「ユークリッド空間」構造の台となる（underlying; 下敷きとなる）構造である。同様の概念は圏論においても生じる。つまり、ユークリッド空間の圏は位相空間の圏上の具体圏であり、前者の圏は忘却函手（「引き剥がし」函手）によって後者の圏へ写される。 三次元ユークリッド空間はユークリッド空間の特別の場合である。ブルバキの語法では、三次元ユークリッド空間の種はユークリッド空間の種よりも豊饒 (rich) であるという。同様に、コンパクト位相空間の種は位相空間の種よりも豊饒である。 ユークリッドの公理系には自由度がなく、空間の幾何学的性質はすべて公理系から一意的に決定される。もっとはっきり言えば、三次元ユークリッド空間はどれも全て互いに同型である。この意味で、単に三次元ユークリッド空間と呼び、具体的に「どのような」三次元ユークリッド空間であるかを通常は指示しない（英語では定冠詞 "the" を付けて呼ぶ）。ブルバキでは、対応する理論は一意 (univalent) であるという。対して、位相空間は一般には非同型であるから、それらの理論は多意 (multivalent) であるという。同様の考え方は数理論理学においても生じる。理論が範疇的であるとは、その濃度が等しい全てのモデルが互いに同型であるときにいう。ブルバキによれば、多意な理論の研究は古典数学から現代数学を峻別する最も著しい特徴である。