空間充填曲線の構成の概略
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/21 03:14 UTC 版)
「空間充填曲線」の記事における「空間充填曲線の構成の概略」の解説
C {\displaystyle {\mathcal {C}}} でカントール空間 2 N {\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }} を表す。 カントール空間 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} から単位区間全体 [0, 1] の上への連続関数 h から始める。（カントール関数のカントール集合への制限はそのような関数の例である。）それから、直積位相空間 C × C {\textstyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} から単位正方形全体 [0, 1] × [0, 1] の上への連続関数 H を H ( x , y ) = ( h ( x ) , h ( y ) ) {\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y))} とおくことで得る。カントール集合は積 C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} に同相であるから、カントール集合から C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} の上への連続全単射 g が存在する。H と g の合成 f はカントール集合を単位正方形全体の上へと写す連続関数である。（あるいは、任意のコンパクト距離空間はカントール集合の連続像であるという定理を用いて関数 f を得ることもできる。） 最後に、f を定義域が単位区間全体 [0, 1] である連続関数 F に拡張できる。これは f の各成分にティーツの拡張定理（英語版）を用いるか、あるいは単純に f を「線型に」拡張する（つまり、カントール集合の構成で取り除かれる各開区間 (a, b) 上、F の拡張部分を単位正方形内で値 f(a) と f(b) 結ぶ線分と定義する）ことによってできる。
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