空間ベクトルの分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:22 UTC 版)
「ローレンツ変換」の記事における「空間ベクトルの分解」の解説
任意の方向へのローレンツブーストに際しては、空間ベクトル x を速度 v と平行な垂直成分に x = x ⊥ + x ‖ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{\perp }+{\boldsymbol {x}}_{\|}} と分解すると都合が良い。v 方向の成分 x ‖ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\|}} のみが、ローレンツ因子 γ による変形を受ける。 t ′ = γ ( t − v x ‖ c 2 ) {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx_{\|}}{c^{2}}}\right)} x ′ = x ⊥ + γ ( x ‖ − v t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}'={\boldsymbol {x}}_{\perp }+\gamma ({\boldsymbol {x}}_{\|}-{\boldsymbol {v}}t)} 上の方程式は、行列を用いて以下のように表現できる。 [ c t ′ x ′ ] = [ γ − v T c γ − v c γ I + v ⊗ v T v 2 ( γ − 1 ) ] [ c t x ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\{\boldsymbol {x}}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {\boldsymbol {v^{\mathrm {T} }}}{c}}\gamma \\-{\frac {\boldsymbol {v}}{c}}\gamma &{\boldsymbol {I}}+{\dfrac {{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {v^{\mathrm {T} }}}}{v^{2}}}(\gamma -1)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\boldsymbol {x}}\end{bmatrix}}} ここで、vT は v の転置行列、I は 3 次単位行列である。 上で注記したように、この変換は 2 つの系で原点が共有されることを要求する。この制約を緩和する形で、ローレンツ変換に時空の平行移動を加えた変換はポアンカレ変換と呼ばれる。
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