種数が 0 の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:15 UTC 版)
「リーマン・ロッホの定理」の記事における「種数が 0 の場合」の解説
リーマン球面（または、複素射影直線ともいう）は、単連結であるので、その1次特異ホモロジーはゼロである。特に、種数はゼロである。リーマン球面は、C の 2つのコピーで被覆することができ、変換写像（英語版）は次の式で与えられる。 C × ∋ z ↦ 1 / z . {\displaystyle \mathbf {C} ^{\times }\ni z\mapsto 1/z.} したがって、C ひとつのコピー上の微分形式 ω = dz は、リーマン球面上の有理型微分形式に拡張される。これは d ( 1 z ) = − 1 z 2 d z {\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}dz} より無限遠点に位数2の極を持っている。したがって、その因子は K = (ω) = −2P （ここに P は無限遠点）である。 したがって、定理より、数列 l(nP) は 1, 2, 3, ... である。この列は部分分数分解から導出することも可能である。逆に、この列がこのように始まると種数 g はゼロとなる。
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