リーマン・ロッホの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/10 00:25 UTC 版)
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リーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホのていり、英: Riemann–Roch theorem）とは、複素解析学や代数幾何学などで用いられる、閉リーマン面上の複素解析と曲面の種数とを結びつける定理である。特定の位数の零点と極をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。
まず、ベルンハルト・リーマンがRiemann (1857)でリーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、Roch (1865)で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。
準備
リーマン面
→詳細は「リーマン面」を参照
次はトーラス C/Λ のような閉リーマン面の種数が g = 1 の場合である。ここで、Λ は2-次元の格子（群としては、 Z2 に同型）である。その種数は1であり、1次特異ホモロジー群は、右の図に示した2つのループにより自由に生成された群である。C 上の標準的な座標 z は、いたるところ正則（つまり、極を持たない）な X 上の1-形式 ω = dz を与える。したがって、標準因子 K は (ω) であり、ゼロである。
曲面上で、数列 
出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。
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- Roch, Gustav (1865). “Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 64: 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372
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- Misha Kapovich, The Riemann–Roch Theorem (lecture note) an elementary introduction
- J. Gray, The Riemann-Roch theorem and Geometry, 1854-1914.
- Is there a Riemann-Roch for smooth projective curves over an arbitrary field? on MathOverflow
- 岩澤健吉:「代数函数論」、岩波書店、（初版：1952年、増補版：1973年、新字体版：2019年）
- 小川裕之：「代数曲線の Riemann-Roch の定理」、第15回整数論サマースクール報告集,pp.15-60
関連項目
- 川崎のリーマン・ロッホの定理(Kawasaki's Riemann–Roch formula)
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