年齢の影響: 年齢構造化モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「年齢の影響: 年齢構造化モデル」の解説
年齢は集団における疾病伝播率、特に接触率に深く影響する。この接触率は、感受性保持者と感染者の接触の有効性を要約する。 S ( t ) = ∫ 0 a M s ( t , a ) d a {\displaystyle S(t)=\int _{0}^{a_{M}}s(t,a)\,da} I ( t ) = ∫ 0 a M i ( t , a ) d a {\displaystyle I(t)=\int _{0}^{a_{M}}i(t,a)\,da} R ( t ) = ∫ 0 a M r ( t , a ) d a {\displaystyle R(t)=\int _{0}^{a_{M}}r(t,a)\,da} （ a M ≤ + ∞ {\displaystyle a_{M}\leq +\infty } は最大許容年齢）のように伝染病クラス s ( t , a ) , i ( t , a ) , r ( t , a ) {\displaystyle s(t,a),i(t,a),r(t,a)} の年齢を考慮に入れる（感受性-感染性-隔離スキームに限定するため）。それらの動態は「単純な」偏微分方程式によって記述されず、以下の積分微分方程式で記述される。 ∂ t s ( t , a ) + ∂ a s ( t , a ) = − μ ( a ) s ( a , t ) − s ( a , t ) ∫ 0 a M k ( a , a 1 ; t ) i ( a 1 , t ) d a 1 {\displaystyle \partial _{t}s(t,a)+\partial _{a}s(t,a)=-\mu (a)s(a,t)-s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}} ∂ t i ( t , a ) + ∂ a i ( t , a ) = s ( a , t ) ∫ 0 a M k ( a , a 1 ; t ) i ( a 1 , t ) d a 1 − μ ( a ) i ( a , t ) − γ ( a ) i ( a , t ) {\displaystyle \partial _{t}i(t,a)+\partial _{a}i(t,a)=s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}{k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)da_{1}}-\mu (a)i(a,t)-\gamma (a)i(a,t)} ∂ t r ( t , a ) + ∂ a r ( t , a ) = − μ ( a ) r ( a , t ) + γ ( a ) i ( a , t ) {\displaystyle \partial _{t}r(t,a)+\partial _{a}r(t,a)=-\mu (a)r(a,t)+\gamma (a)i(a,t)} 上式において、 F ( a , t , i ( ⋅ , ⋅ ) ) = ∫ 0 a M k ( a , a 1 ; t ) i ( a 1 , t ) d a 1 {\displaystyle F(a,t,i(\cdot ,\cdot ))=\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}} は感染力であり、これは、当然、年齢間の相互作用に依存する。 新生児の初期条件（すなわち、a=0の場合）によって複雑さが付加される。この初期条件は感染区分および隔離区分については i ( t , 0 ) = r ( t , 0 ) = 0 {\displaystyle i(t,0)=r(t,0)=0} と明快であるが、感受性を持つ新生児の密度については非局所的である。 s ( t , 0 ) = ∫ 0 a M ( φ s ( a ) s ( a , t ) + φ i ( a ) i ( a , t ) + φ r ( a ) r ( a , t ) ) d a {\displaystyle s(t,0)=\int _{0}^{a_{M}}\left(\varphi _{s}(a)s(a,t)+\varphi _{i}(a)i(a,t)+\varphi _{r}(a)r(a,t)\right)\,da} 上式において、 φ j ( a ) , j = s , i , r {\displaystyle \varphi _{j}(a),j=s,i,r} は大人の出生率である。 さらに、現在の総人口 n ( t , a ) = s ( t , a ) + i ( t , a ) + r ( t , a ) {\displaystyle n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)} の密度を定義すると、 ∂ t n ( t , a ) + ∂ a n ( t , a ) = − μ ( a ) n ( a , t ) {\displaystyle \partial _{t}n(t,a)+\partial _{a}n(t,a)=-\mu (a)n(a,t)} が得られる。 3つの伝染病クラスにおいて出生率が等しい最も単純な場合において、人口均衡を保つためには、出生率 φ ( . ) {\displaystyle \varphi (.)} と死亡率 μ ( a ) {\displaystyle \mu (a)} を結び付ける以下の必要十分条件 1 = ∫ 0 a M φ ( a ) exp ( − ∫ 0 a μ ( q ) d q ) d a {\displaystyle 1=\int _{0}^{a_{M}}\varphi (a)\exp \left(-\int _{0}^{a}{\mu (q)dq}\right)\,da} と人口均衡 n ∗ ( a ) = C exp ( − ∫ 0 a μ ( q ) d q ) , {\displaystyle n^{*}(a)=C\exp \left(-\int _{0}^{a}\mu (q)\,dq\right),} が満たされなけばならず、これによって自動的に感染症の無い解 D F S ( a ) = ( n ∗ ( a ) , 0 , 0 ) . {\displaystyle DFS(a)=(n^{*}(a),0,0).} の存在が保証される。 基本再生産数は、適切な関数演算子のスペクトル半径として計算することができる。
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