局所因子と函数等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 14:02 UTC 版)
「ラングランズ・シャヒーディの方法」の記事における「局所因子と函数等式」の解説
まず最初は、大域的カスプ表現の粗い函数等式 π = ⊗ ′ π v {\displaystyle \pi =\otimes '\pi _{v}} を、部分的なL-函数とγ-因子の個別の函数等式へと精密化することである。 L S ( s , π , r i ) = ∏ v ∈ S γ i ( s , π v , ψ v ) L S ( 1 − s , π ~ , r i ) . {\displaystyle L^{S}(s,\pi ,r_{i})=\prod _{v\in S}\gamma _{i}(s,\pi _{v},\psi _{v})L^{S}(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}).} 詳細はテクニカルであり、s を複素変数、S を S 以外の v では不分岐で値 π v {\displaystyle \pi _{v}} となる（基礎となる大域体の）座(place)の有限集合とし、 r = ⊕ r i {\displaystyle r=\oplus r_{i}} を G のラングランズ双対群の行列式が 1 の部分群の複素リー代数で、M 上の随伴作用とする。G が特殊線型群 SL(2) であり、M = T が対角行列の最大トーラスのとき、π はヘッケ量指標(Größencharakter)で、対応する γ-因子は、テイト論文の局所因子である。 γ-因子は函数等式での役割と局所性質の中での役割により、双曲的な導出の観点(parabolic induction)からは多重度として一意に特徴付けられる。それらは、v をアルキメデス的局所体を与える、もしくは、非アルキメデス的で π v {\displaystyle \pi _{v}} が M(F) の不分岐主系列表現の成分であるとき、アルティンのL-函数とアルティンの根との関係を意味する。従って、局所 L-函数と根 ε ( s , π v , r i , v , ψ v ) {\displaystyle (s,\pi _{v},r_{i,v},\psi _{v})} は、どこでも定義でき、p-進群のラングランズの分類より v ∈ S {\displaystyle v\in S} を意味する。函数等式は、 L ( s , π , r i ) = ϵ ( s , π , r i ) L ( 1 − s , π ~ , r i ) {\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})=\epsilon (s,\pi ,r_{i})L(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i})} の形をしている。ここに L ( s , π , r i ) {\displaystyle L(s,\pi ,r_{i})} と ϵ ( s , π , r i ) {\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r_{i})} は完備化された大域的L-函数と根である。
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